Cálculo de áreas y volúmenes con vectores

Área de un triángulo

Sea un triángulo cuyos vértices son los puntos $A$ , $B$ y $C$ . Su área es:

$A = \cfrac {1}{2} | \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} |$

PROCEDIMIENTO

1.	Calcula los vectores $\overrightarrow {AB}$ y $\overrightarrow {AC}$
2.	Calcula el módulo del producto $\overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC}$
3.	Aplica la fórmula del área del triángulo

Ejemplo

Calcula el área del triángulo de vértices $A ( 1, 2, 0 ) \space , \space B (0, 3, -1) \space , \space C ( 1, 0, -1)$

Calcula el vector $\overrightarrow {AB}$ :

 $\overrightarrow {AB} = (0-1 , 3-2 , -1-0)= (-1, 1, -1 )$

Calcula el vector $\overrightarrow {AC}$

 $\overrightarrow {AC}= (1-1 , 0-2, -1-0) = (0,-2,-1)$

Calcula el módulo de $\overrightarrow {AB}\times \overrightarrow {AC}$

 $\overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -1 & 1 & -1\\0& -2 & -1\end{vmatrix} = (-3, -1, 2)$

$|\overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} | = \sqrt {(-3)^2 + (-1)^2 + 2^2 } = \sqrt {9+1+4}= \sqrt {14}$ 

AAplica el área del triangulo

$A = \cfrac {1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow {AC}| = \underline { \cfrac {\sqrt {14}}{2}\space u^2}$ 

Volumen de un tetraedro

Sea un tetraedro cuyos vértices son los puntos $A, B, C \text { y }D$ . Su volumen es:

$V = \cfrac{1}{6} | [ \overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC}, \overrightarrow {AD}]|$

pROCEDIMIENTO

1.	Calcula los vectores $\overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC}, \text { y }\overrightarrow {AD}$
2.	Calcula el producto $[\overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC}, \overrightarrow {AD}]$
3.	Aplica la fórmula del volumen del tetraedro

Ejemplo

Calcula el volumen del tetraedro de vértices $A (1,2,0 )$ , $B (0,3 , -1)$ , $C (1, 0 ,-1)$ y $D (1,3,2)$

Calcula los vectores $\overrightarrow {AB}$ , $\overrightarrow {AC}$ y $\overrightarrow {AD}$ 

 $\overrightarrow {AB} = (0-1 , 3-2 , -1-0)= (-1, 1, -1 )$

$\overrightarrow {AC}= (1-1 , 0-2, -1-0) = (0,-2,-1)$ 

$\overrightarrow {AD}= (1-1 , 3-2, 2-0) = (0,1,2)$

Calcula el producto $[\overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC}, \overrightarrow {AD}]$

$[\overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC}, \overrightarrow {AD}] = \begin{vmatrix} -1 & 1 & -1\\ 0 & -2 & -1 \\0 & 1 & 2\end{vmatrix} = -1 (-4+1) - 1(0-0) -1(0-0) = 3$

Aplica la fórmula del volumen del tetraedro

 $V= \cfrac {1}{6} |[\overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC}, \overrightarrow {AD}]| = \cfrac {1}{6} \cdot |3| = \cfrac{3}{6}= \underline {\cfrac {1}{2}\space u ^3}$