Posiciones relativas entre planos

Posición relativa entre dos planos

Para saber la posición relativa entre dos planos tienes que estudiar el rango de la matriz de coeficiente $M$ y la matriz ampliada $M'$ que se obtiene del sistema formado por sus ecuaciones implícitas.

$\left\{\begin{array}{ l }\pi: Ax+By+Cz+D=0\\ \pi': A'x+B'y+C'z+D=0\end{array}\right.$

$M = \begin{pmatrix}A & B & C\\A' & B' & C'\end{pmatrix}$ $M' = \begin{pmatrix}A & B & C&D\\A' & B' & C' &D\end{pmatrix}$

Planos coincidentes	$Rg(M)=Rg(M')=1$
Planos paralelos	$Rg(M)=1<Rg(M')=2$
Planos secantes	$Rg(M)=Rg(M')=2$

Posición relativa entre tres planos

Al igual que en el caso anterior, para saber la posición relativa entre tres planos tienes que estudiar el rango de $M$ y $M'$ .

Coincidentes	$Rg(M) = Rg(M')=1$
Paralelos o dos coincidentes y otro paralelo	$Rg(M) = 1<Rg(M')=2$ Para saber cuál de las dos posiciones puede ser, tienes que estudiar la posición relativa de los planos de dos en dos.
Dos coincidentes y otro que corta o tres planos secantes	$Rg(M) = Rg(M')=2$ Para saber cuál de las dos posiciones puede ser, tienes que estudiar si existen algunos planos coincidentes.
Forman un prisma o dos paralelos y otro secante	$Rg(M)=2<Rg(M')=3$ Para saber cuál de las dos opciones puede ser, tienes que estudiar si existen planos paralelos.
Triedro	$Rg(M)=Rg(M')=3$