Lugares geométricos de la recta: Mediatriz y bisectriz

Mediatriz de un segmento

Es una recta $r$ perpendicular a un segmento $AB$ y que pasa por su punto medio $M$ .

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Recuerda que: los puntos de la mediatriz son equidistantes de $A$ y $B$ .

Cálculo de la mediatriz de un segmento

El cálculo analítico de la mediatriz se realiza tal que:

procedimiento

1.

Comprueba que se cumple la condición de equidistancia $d(P,A)=d(P,B)$ , partiendo de un segmento de extremos $A(a_1,a_2)$ y $B(b_1,b_2)$ .

2.

Aplica la ecuación de la distancia

$\sqrt{(x-a_1)^2+(y-a_2)^2}= \sqrt{(x-b_1)^2+(y-b_2)^2}$

3.

Sustituye por los datos que tienes.

Ejemplo

Calcula la mediatriz del segmento dado por los puntos $A(1,1)$ y $B(5,3)$

Sustituimos en la fórmula

$\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=\sqrt{(x-5)^2+(y-2)^2}$ 

Simplificamos y obtenemos la ecuación de la mediatriz

 $\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=\sqrt{(x-5)^2+(y-2)^2}\newline (x-1)^2+(y-1)^2=(x-5)^2+(y-3)^2\newline-2x-2y+2=-10x-6y+34\newline \underline{2x+y-8=0}$ 

Bisectriz de dos rectas

Es una recta que divide en dos partes iguales el ángulo formado por dos rectas.

Matemáticas; Rectas; 1. Bachillerato; Lugares geométricos de la recta: Mediatriz y bisectriz

Recuerda que: los puntos de la bisectriz equidistan de las rectas que forman el ángulo.

Cálculo de las bisectrices de dos rectas

El cálculo analítico de la bisectriz se realiza tal que:

procedimiento

1.

Aplica la condición de equidistancia entre un punto $P$ de la bisectriz y las rectas $d(P,r)=d(P,s)$ , partiendo de dos rectas:
$r:Ax+By+C=0$ y $s:A'x+B'y+C'=0$

2.

Aplica la ecuación de la distancia

$\cfrac{Ax+By+C}{\sqrt{A^2+B^2}} = \cfrac{A'x+B'y+C'}{\sqrt{A'^2+B'^2}}$

3.

Sustituye por los datos que tienes.

Ejemplo

Calcula la bisectriz de las rectas $r:3x+4y-1=0$ y $s:4x-4y+3=0$

Sustituimos en la fórmula

$\cfrac{4x+3y-1}{\sqrt{4^2+3^2}} = \cfrac{4x-4y+3}{\sqrt{4^2+(-4)'^2}}$ 

Simplificamos y obtenemos la ecuación de la bisectriz

$\cfrac{4x+3y-1}{\sqrt{4^2+3^2}} \implies \cfrac{4x-4y+3}{\sqrt{4^2+(-4)'^2}}=\cfrac{4x+3y-1}{5} = \cfrac{4x-4y+3}{4\sqrt2}\newline{(16\sqrt2-20)x+(12\sqrt2 + 20)y-(4\sqrt2+15)=0}$ 