Ecuación vectorial de la recta en 2D y 3D

Características de la recta

La ecuación de una recta se puede definir siempre mediante:

Dos puntos
Vector director y un punto

Recuerda que: hay varios tipos de ecuaciones de la recta, pero en esta lección solo trataremos la principal, la ecuación vectorial.

Ecuación vectorial de la recta en el plano

Sea la recta $r$ que pasa por el punto $A(a_1,a_2)$ y que tiene por vector director $\overrightarrow u(u_1,u_2)$ , y sea $P(x,y)$ un punto cualquiera de la recta. Si denominamos $\overrightarrow p$ y $\overrightarrow a$ a los vectores posición de los puntos $P$ y $A$ respectivamente, entonces la ecuación vectorial de la recta $r$ tiene como expresión:

$\overrightarrow p=\overrightarrow a+\lambda\overrightarrow u \qquad \text{con} \ \ \lambda\in\R$

Recuerda que: La pendiente de una recta, $m$ , y el vector director de la misma, $\overrightarrow u(u_1,u_2)$ , están relacionados mediante la expresión $m=\cfrac{u_2}{u_1}$

Ejemplo

Calcula la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos $P(2,3)$ y $Q(4,5)$

Al tener dos puntos de la recta, podemos calcular el vector director mediante la expresión:

$\overrightarrow u=\overrightarrow {PQ}=Q-P=(2,3)-(4,5)=(-2,-2)$

Así obtenemos que la ecuación vectorial de la recta es;

$\underline{(x,y)=(2,3)+\lambda(-2,-2)} \qquad \lambda \in \R$

Ecuación vectorial de la recta en el espacio

Sea la recta $r$ que pasa por el punto $A(a_1,a_2,a_3)$ y que tiene por vector director $\overrightarrow u(u_1,u_2,u_3)$ , y sea $P(x,y,z)$ un punto genérico de la recta. Si denominamos $\overrightarrow p$ y $\overrightarrow a$ a los vectores posición de los puntos $P$ y $A$ respectivamente, entonces la ecuación vectorial de la recta $r$ tiene como expresión:

$\overrightarrow p=\overrightarrow a+\lambda\overrightarrow u \qquad \text{con} \ \ \lambda\in\R$

Ejemplo

Calcula la ecuación vectorial de la recta que pasa por por los puntos $P(4,-2,1)$ y $Q(0,2,2)$

No se nos da directamente el vector director pero, el $\overrightarrow {PQ}$ es válido. Así obtenemos:

$\overrightarrow {PQ}=Q-P=(0,2,2)-(4,-2,1)=(-4,4,1)\\\quad \\\underline{(x,y,z)=(0,2,2)+\lambda(-4,-4,1)}\qquad \lambda\in\R$