Operaciones con vectores: Producto mixto

Producto mixto de tres vectores

El producto mixto de tres vectores $\overrightarrow u$ , $\overrightarrow v$ y $\overrightarrow w$ es el número real que resulta tras multiplicar escalarmente el primero de ellos, $\overrightarrow u$ , por el producto vectorial de los dos últimos, $\overrightarrow v\times \overrightarrow w$ . Se denota por $\lbrack\overrightarrow u,\overrightarrow v, \overrightarrow w\rbrack$

Ejemplo

Calcula el producto mixto de los vectores:

$\overrightarrow u=(2,-1,3), \overrightarrow v=(0,2,-5)$ y $\overrightarrow w=(1, -1, -2)$

En primer lugar calculamos el producto vectorial $\overrightarrow v\times\overrightarrow w$

$\overrightarrow v\times \overrightarrow w=\begin{vmatrix}\overrightarrow i&\overrightarrow j&\overrightarrow k\\0&2&-5\\1&-1&-2\end{vmatrix}= \overrightarrow i\begin{vmatrix}2&-5\\-1&-2\end{vmatrix}-\overrightarrow j\begin{vmatrix}0&-5\\1&-2\end{vmatrix}+\overrightarrow k\begin{vmatrix}0&2\\1&-1\end{vmatrix}=-9\overrightarrow i-5\overrightarrow j-2\overrightarrow k \newline (-9,-5,-2)$

Después, realizamos el producto escalar por $\overrightarrow u$

$\overrightarrow u\cdot (\overrightarrow v\times \overrightarrow w)=(2,-1,3)\cdot (-9,-5,-2)=-18+5-6=\underline{-19}$

Propiedades del producto mixto

1.	$\lbrack\overrightarrow u,\overrightarrow v, \overrightarrow w\rbrack=\lbrack\overrightarrow w,\overrightarrow u, \overrightarrow v\rbrack=\lbrack\overrightarrow v,\overrightarrow w, \overrightarrow u\rbrack$
2.	$\lbrack\overrightarrow u,\overrightarrow v, \overrightarrow w\rbrack=-\lbrack\overrightarrow v,\overrightarrow u, \overrightarrow w\rbrack;\quad \lbrack\overrightarrow u,\overrightarrow v, \overrightarrow w\rbrack=-\lbrack\overrightarrow w,\overrightarrow v, \overrightarrow u\rbrack; \quad \lbrack\overrightarrow u,\overrightarrow v, \overrightarrow w\rbrack=-\lbrack\overrightarrow u,\overrightarrow w, \overrightarrow v\rbrack$
3.	$\lbrack a\overrightarrow u,b\overrightarrow v, c\overrightarrow w\rbrack=abc\lbrack\overrightarrow u,\overrightarrow v, \overrightarrow w\rbrack$
4.	$\lbrack\overrightarrow u,\overrightarrow v, \overrightarrow w\rbrack=0 \iff\overrightarrow u, \overrightarrow v, \overrightarrow w \ \ \ \text{son linealmente dependientes}$

Expresión analítica del producto mixto en la base canónica

El producto mixto de los vectores $\overrightarrow u=(u_1, u_2, u_3)$ , $\overrightarrow v=(v_1,v_2,v_3)$ y $\overrightarrow w=(w_1,w_2,w_3)$ expresados en la base canónica $\lbrace \overrightarrow i, \overrightarrow j, \overrightarrow k\rbrace$ es igual a:

$\lbrack\overrightarrow u, \overrightarrow v,\overrightarrow w\rbrack=\begin{vmatrix}u_1& u_2&u_3\\v_1& v_2&v_3\\w_1&w_2&w_3\end{vmatrix}$

Ejemplo

Calcula el producto mixto de los vectores:

$\overrightarrow u=(2,-1,3), \overrightarrow v=(0,2,-5)$ y $\overrightarrow w=(1, -1, -2)$

$\lbrack\overrightarrow u, \overrightarrow v, \overrightarrow w\rbrack=\begin{vmatrix}2&-1&3\\0&2&-5\\1&-1&-2\end{vmatrix}=-8+5+0-(6+10)=-3-16=\underline{-19}$

Recuerda que: el valor absoluto del producto mixto de tres vectores $\overrightarrow u$ , $\overrightarrow v$ y $\overrightarrow w$ coincide con el volumen del paralelepípedo que determinan dichos vectores.