Operaciones con vectores: Producto vectorial

Producto vectorial

El producto vectorial de dos vectores $\overrightarrow u$ y $\overrightarrow v$ es el vector $\overrightarrow u \times\overrightarrow v$ , que tiene las siguientes características

Módulo: se obtiene a través de:

$|\overrightarrow u\times \overrightarrow v|=|\overrightarrow u||\overrightarrow v|\operatorname{sen}(\widehat{\overrightarrow u, \overrightarrow v})$

Dirección: perpendicular a ambos vectores

$\overrightarrow u \times\overrightarrow v \perp \overrightarrow u\qquad \overrightarrow u \times\overrightarrow v \perp \overrightarrow v$

Sentido: a través de la regla del sacacorchos. $(2) \overrightarrow u,\ (1)\overrightarrow v,\ (3)\ \overrightarrow {u\times v}$

Matemáticas; Vectores; 2. Bachillerato; Operaciones con vectores: Producto vectorial

Ejemplo

Calcula el módulo del producto vectorial de los vectores $\overrightarrow u=(-2,3,1)$ y $\overrightarrow v=(2,1,4)$ , sabiendo que forma un ángulo de $80º$

$|\overrightarrow u\times \overrightarrow v|=|\overrightarrow u||\overrightarrow v|\operatorname{sen}(\widehat{\overrightarrow u, \overrightarrow v})=\sqrt{14}\cdot \sqrt{21}\cdot \operatorname{sen}(80º)= \underline {16,88}$

Propiedades del producto vectorial

1.	$\overrightarrow u\times\overrightarrow v=-(\overrightarrow v\times \overrightarrow u)$
2.	$\lambda(\overrightarrow u\times\overrightarrow v)=(\lambda\overrightarrow u)\times \overrightarrow v=\overrightarrow u\times (\lambda\overrightarrow v)$
3.	$\overrightarrow u\times(\overrightarrow v+\overrightarrow w)=\overrightarrow u\times\overrightarrow v+\overrightarrow u\times\overrightarrow w$

Expresión analítica del producto vectorial en la base canónica

El producto vectorial de dos vectores $\overrightarrow u=(u_1,u_2,u_3)$ y $\overrightarrow v=(v_1,v_2,v_3)$ expresados en la base canónica $\lbrace\overrightarrow i,\overrightarrow j, \overrightarrow k\rbrace$ es:

$\overrightarrow u\times \overrightarrow v=\begin{vmatrix}\overrightarrow i&\overrightarrow j&\overrightarrow k\\u_1 &u_2 & u_3\\v_1& v_2& v_3\end{vmatrix}$

Ejemplo

Calcula el producto vectorial de los vectores $\overrightarrow u=(-2,3,1)$ y $\overrightarrow v=(2,1,4)$

$\overrightarrow u\times \overrightarrow v=\begin{vmatrix}\overrightarrow i&\overrightarrow j&\overrightarrow k\\-2 &3 & 1\\2& 1& 4\end{vmatrix}=\overrightarrow i\begin{vmatrix}3&1\\1&4\end{vmatrix}-\overrightarrow j\begin{vmatrix}-2&1\\2&4\end{vmatrix}+\overrightarrow k\begin{vmatrix}-2&3\\2&1\end{vmatrix}=11\overrightarrow i+10\overrightarrow j-8\overrightarrow k\newline \overrightarrow u\times \overrightarrow v=\underline{(11,10,-8)}$

Recuerda que: El módulo del producto vectorial de dos vectores $\overrightarrow u$ y  $\overrightarrow v$ coincide con el área del paralelogramo que determinan dichos vectores 