Operaciones con vectores: Producto escalar

Producto escalar de dos vectores

El producto escalar de dos vectores $\overrightarrow u$ y $\overrightarrow v$ no nulos, es el número real que se obtiene al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman

$\overrightarrow u\cdot \overrightarrow v= |\overrightarrow u|\ \cdot |\overrightarrow v| \cdot \cos(\widehat{\overrightarrow u, \overrightarrow v})$

Recuerda que: si el producto escalar de dos vectores $\overrightarrow u$ y $\overrightarrow v$ no nulos es igual a $0$ , estos dos vectores son perpendiculares ya que $\cos(90)=0$ .

Ejemplo

Calcula el producto escalar de los vectores $\overrightarrow u(1,3)$ y $\overrightarrow v(3,2)$ sabiendo que forman un ángulo de $60º$

$\overrightarrow u\cdot \overrightarrow v= |\overrightarrow u|\ \cdot |\overrightarrow v| \cdot \ (cos\widehat{\overrightarrow u, \overrightarrow v})=\sqrt{1^2+3^2}\cdot\sqrt{3^2+2^2}\cdot\cos(60)=\sqrt{10}\cdot \sqrt{13}\cdot 0,5= \underline{5,7}$

Propiedades del producto escalar

1.	Si $\overrightarrow u\neq0\implies \overrightarrow u \cdot \overrightarrow u=\|\overrightarrow u\|^2 \gt0$
2.	$\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v=\overrightarrow v \cdot \overrightarrow u$ , ya que $\cos(\widehat{\overrightarrow u, \overrightarrow v})=\cos(\widehat{\overrightarrow v, \overrightarrow u})$
3.	$\lambda(\overrightarrow u\cdot\overrightarrow v)=(\lambda\overrightarrow u)\cdot \overrightarrow v=\overrightarrow u\cdot (\lambda\overrightarrow v)$
4.	$\overrightarrow u\cdot (\overrightarrow v+ \overrightarrow w)=\overrightarrow u\cdot \overrightarrow v+\overrightarrow u \cdot \overrightarrow w$

Ejemplo

Sabiendo que $\overrightarrow v\cdot\overrightarrow u=3$ y que $\overrightarrow u\cdot \overrightarrow w=5$ , calcula $4\overrightarrow u\cdot(\overrightarrow v + \overrightarrow w)$

$4\overrightarrow u\cdot(\overrightarrow v + \overrightarrow w)=4\overrightarrow u\cdot \overrightarrow v+4\overrightarrow u\cdot \overrightarrow w=4(\overrightarrow u\cdot \overrightarrow v)+4(\overrightarrow u\cdot \overrightarrow w)=\newline=4(\overrightarrow v\cdot \overrightarrow u)+4(\overrightarrow u\cdot \overrightarrow w)=4\cdot 3+4\cdot 5=\underline{32}$

Expresión analítica del producto escalar en la base canónica

2 dimensiones

Tomando como base la base canónica $\lbrace\overrightarrow i,\overrightarrow j\rbrace$ , se verifica que, al ser una base ortonormal (todos los miembros de la base son perpendiculares entre sí y tienen norma 1), el producto escalar de dos vectores $\overrightarrow u$ y $\overrightarrow v$ puede expresarse como:

$\overrightarrow u\cdot \overrightarrow v=(u_1\overrightarrow i+u_2\overrightarrow j)\cdot (v_1\overrightarrow i+v_2\overrightarrow j)=u_1v_1\overrightarrow i\cdot\overrightarrow i +u_1v_2\overrightarrow i\cdot\overrightarrow j +u_2v_1\overrightarrow j\cdot\overrightarrow i+u_2v_2\overrightarrow j\cdot\overrightarrow j =u_1v_1\overrightarrow i\cdot\overrightarrow i + u_2v_2\overrightarrow j\cdot\overrightarrow j=\underbrace{u_1v_1+u_2v_2}$

3 dimensiones

Para 3 dimensiones, la base canónica es $\lbrace\overrightarrow i, \overrightarrow j, \overrightarrow k\rbrace$ , también ortonormal; por lo que siguiendo la misma demostración que en el caso anterior se obtiene:

$\overrightarrow u\cdot \overrightarrow v=\underbrace{u_1v_1+ u_2v_2 + u_3v_3}$

Ejemplo

Calcula el producto escalar de los vectores $\overrightarrow u=(2,-1)$ y $\overrightarrow v=(1,1)$

$\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v=2\cdot 1 + 1\cdot (-1)=\underline1$

Interpretación geométrica del producto escalar

Matemáticas; Vectores; 1. Bachillerato; Operaciones con vectores: Producto escalar

Geométricamente, el producto escalar se puede definir como el módulo de un vector por la proyección ortogonal del otro sobre él. Teniendo en cuenta que $\operatorname {proy}_{\overrightarrow u} \overrightarrow t=\overrightarrow {OQ'}$

$|\overrightarrow u\cdot \overrightarrow t|=|\operatorname {proy}_{\overrightarrow u} \overrightarrow t|\cdot \overrightarrow u= |\operatorname {proy}_{\overrightarrow t} \overrightarrow u|\cdot \overrightarrow t$

Así, también podemos concluir que:

$|\operatorname{proy}_{\overrightarrow v}\overrightarrow u|=\cfrac{|\overrightarrow u\cdot \overrightarrow v|}{|\overrightarrow v|} \qquad \qquad |\operatorname{proy}_{\overrightarrow u}\overrightarrow v|=\cfrac{|\overrightarrow u\cdot \overrightarrow v|}{|\overrightarrow u|}$