Dependencia y combinación lineal en 2D

Combinaciones lineales

Una combinación lineal de dos vectores es otro vector que se obtiene a partir de la suma de estos vectores multiplicados por un escalar. Se expresa:

$\overrightarrow{w}=\alpha\overrightarrow{u}+\beta\overrightarrow{v}$

Dependencia lineal

Para que un conjunto de vectores sean linealmente dependientes alguno de ellos se debe poder escribir como combinación lineal de otros.

Ejemplo

Se puede expresar el vector $\it{\overrightarrow{PM}}$ como combinación lineal de $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ : $\it{\underline{\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{u}+t\overrightarrow{v}}}$

Matemáticas; Vectores; 1. Bachillerato; Dependencia y combinación lineal en 2D

Estudio de la dependencia lineal

Para comprobar la dependencia lineal de dos vectores se verifica lo siguiente:

$\cfrac{\overrightarrow{u_1}}{\overrightarrow{u_2}} \ne \cfrac{\overrightarrow{v_1}}{\overrightarrow{v_2}}$

Si no se cumple la igualdad los vectores son linealmente independientes.

Ejemplo

Verifica si los vectores $\it{\overrightarrow{u}=(3,-1)}$ y $\it{\overrightarrow{v}=(4,2) }$ son linealmente dependientes.

$\it{\overrightarrow{u_1}=3\space ;\space \overrightarrow{u_2}=-1\space ;\space\overrightarrow{v_1}=4\space ;\space\overrightarrow{v_2}=2}$

$\it{\dfrac{3}{-1} \ne \dfrac{4}{2}\implies }$ no son proporcionales

Los vectores $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ son linealmente independientes.