Teorema del seno, coseno y tangente

Los tres teoremas que verás a continuación son válidos y se pueden aplicar en cualquier tipo de triángulo.

Teorema del seno

El Teorema del seno verifica que en cualquier triángulo $ABC$ se cumple:

\cfrac{a}{sen\hat{A}}=\cfrac{b}{sen\hat{B}}=\cfrac{c}{sen\hat{C}}

Resuelve el triángulo tal que $b=5\space cm$ , $\hat{B}=30º$ y $\hat{A}=120º$

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180º \newline120º+30º+\hat{C}=180º\newline \hat{C}=30º$

\cfrac{a}{sen\hat{A}}=\cfrac{b}{sen\hat{B}}

a=\cfrac{b\space sen\hat{A}}{sen\hat{B}}=\cfrac{5\cdot sen120º}{sen30º}= \underline{8,66 \space \rm cm}

El Teorema del coseno verifica que en cualquier triángulo $ABC$ se cumple:

a^2=b^2+c^2-2bc\space cos \hat{A} \newline b^2=a^2+c^2-2ac\space cos \hat{B} \newline c^2=a^2+b^2-2ab\space cos \hat{C}

Calcula la medida del lado $c$ del triángulo sabiendo que $a=9\space cm$ , $b=7\space cm$ $y \space \hat{C}=60º$

$c^2=a^2+b^2-2ab\space cos\hat{C}= 81+49-126\space cos 60º=67$

$c=\underline{\sqrt{67} \space \rm cm}$

El Teorema de la tangente verifica que en cualquier triángulo $ABC$ se cumple:

$\cfrac{a+b}{a-b}=$ $\cfrac{tg\left ( \cfrac{\hat{A}+\hat{B}}{2}\right)}{tg\left ( \cfrac{\hat{A}-\hat{B}}{2}\right)}$

Calcula la medida del lado $b$ del triángulo. Sabiendo que $a= 5\space cm$ , $\hat{B}= 30º$ $y\space \hat{C}=60º$

\cfrac{5-b}{5+b}=\cfrac{tg\left ( \cfrac {90º-30º}{2}\right)}{tg\left ( \cfrac{{90º}+{30º}}{2}\right)}

\space \cfrac{5-b}{5+b}=\cfrac{tg 30º}{tg60º}= \underline{\cfrac{1}{3}\space \rm cm}