Convergencia de las sucesiones

Sucesiones crecientes y decrecientes

Una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior:

$a_n\leq a_{n+1}$

Una sucesión es decreciente si cada término es menor o igual que el anterior:

$a_n\geq a_{n+1}$

Una sucesión es convergente cuando es monótona, creciente o decreciente y acotada.
Las sucesiones no acotadas se llaman divergentes.
Si una sucesión $a_n$ es convergente, su límite tenderá a un número $K$ de la siguiente forma:

$\lim\limits_{n \to \infty}a_n=K\ne \pm \infty$

Determina si las siguientes sucesiones son convergentes o divergentes:

$\lim (n+1)^{2}=+\infty$

Como la sucesión no tiende a ningún número, no está acotada y por tanto, es divergente.

$\lim \cfrac{4n+1}{n+2}=\cfrac{\infty}{\infty}\rightarrow \cfrac{4}{1}=4$

Esta sucesión en cambio sí tiende a un número, por lo que está acotada y es convergente. 

Una sucesión estará acotada superiormente si existe una constante $k$ para la que se cumpla:

$a_n\le k \space \text{ para todo }n$

Una sucesión estará acotada inferiormente si existe una constante $k$ para la que se cumpla:

$a_n\ge k \space \text{ para todo }n$