Límite de sucesiones

Calcular el límite de sucesiones

Para calcular el límite de sucesiones se deben aplicar los mismos procedimientos que para el cálculo de límites en funciones.

La diferencia es que los límites de sucesiones sólo se estudian en el infinito ( $n\rightarrow +\infty$ ), es decir, cuando la variable $n$ se hace cada vez más grande.

Indeterminación $\infty-\infty$

Para resolver esta indeterminación, típica en los límites de sucesiones, se deben transformar las expresiones para convertirla en otra indeterminación que sí se sabe resolver como $\cfrac{\infty }{\infty}$ ó $\cfrac{0}{0}$ .

Transformación a $\cfrac{\infty }{\infty}$	$f( n)-g(n)=\ln\left(\cfrac{e^{f(n)}}{e^{g(n)}}\right)$
Transformación a $\cfrac{0}{0}$	$f(n)-g(n)=\cfrac{\cfrac{1}{g(n)}-\cfrac{1}{f(n)}}{\cfrac{1}{f(n)\cdot g(n)}}$

Ejemplo

Calcula el siguiente límite:

$\lim\limits_{n \to \infty}(\sqrt{n+3}-\sqrt{n})$

Se multiplica por el conjugado de $\sqrt{n+3}-\sqrt{n}$

$\lim\limits_{n \to \infty}\left(\cfrac{3}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}\right) \rightarrow 3\cdot \lim\limits_{n \to \infty}\left(\cfrac{1}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}\right)$

Se aplica el método de resolución de límites en funciones racionales

$3\cdot \left(\cfrac{\lim\limits_{n \to \infty}1}{\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}\right)$

Se calculan los límites por separado

$\lim\limits_{n \to \infty}1=1 \newline \lim\limits_{n \to \infty}\sqrt{n+3}+\sqrt{n}=\infty$

Por lo que,

$3\cdot \left(\cfrac{\lim\limits_{n \to \infty}1}{\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}\right)=3\cdot\cfrac{1}{\infty}=\underline{0}$

Indeterminación $1^\infty$

Esta indeterminación se calcula empleando el número $e$ . En la mayoría de las ocasiones, siendo $a_n$ una sucesión que tiende a $+\infty$ , se cumple que:

$a_{n}=\left(1+\cfrac{1}{b_n}\right)^{b_n} \rightarrow \lim\limits_{n \to \infty}a_n=e$

Ejemplo

Calcula el límite de la siguiente sucesión

$a_n=\left(\cfrac{n+3}{n+1}\right)^{n+5}$

Se aplican las leyes de los exponentes y la regla de la cadena:

$\lim\limits_{n \to \infty}\left(\cfrac{n+3}{n+1}\right)^{n+5}\rightarrow \lim\limits_{n \to \infty}e^{(n+5)\ln\left(\cfrac{n+3}{n+1}\right)}=\underline{e^2}$