Función integral: Teorema fundamental del cálculo:

Función integral

Definida $f(x)$ continua en el intervalo $[a, b]$ , se denomina función integral a la función $F(x)$ que representa el área sombreada de un figura formada por la gráfica de $f$ , el eje $X$ y la recta vertical que pasa por el punto de abscisa $x$ .

$\displaystyle F(x) = {\int_{a}^{x} {f(t)} \space dt}$

Teorema fundamental del cálculo

Si $f$ es continua en $[a,b]$ y $F$ es su función integral en $[a,b]$ ,

$F(x) = \displaystyle {\int_{a}^{x} {f(t)} \space dt}$

Ppor lo que es derivable en $[a,b]$ y $F'(x) = f(x)$ . Es decir, si se integra una función $f$ y después se deriva el resultado, se obtiene la función $f$ original.

Ejemplo

Calcula $F(x) =\displaystyle {\int_{0}^{x} {f(t)} \space dt}$ con $f(t) = t^2$ y comprueba que $F'(x) = f(x)$ .

$F(x) = {\displaystyle \int_{0}^{x} {t^2} \space dt} = \cfrac{t^3}{3} \bigg]_{0}^{x} = \cfrac{x^3}{3}-\cfrac{0^3}{3} = \cfrac{x^3}{3}$

$\underline {F'(x) = x^2 =f(x)}$ 

Derivación bajo el signo integral

Los límites de integración de una integral definida pueden ser valores o funciones, de forma que:

$g(x)= {\displaystyle \int_{u(x)}^{v(x)}{f(t)\space dt}} = F\bigg(v(x) \bigg) - F\bigg(u(x) \bigg)$

Derivando ambos extremos se obtiene:

$g'(x)= \bigg({\displaystyle \int_{u(x)}^{v(x)}{f(t)\space dt}} \bigg)' = F'\bigg(v(x) \bigg)\cdot v'(x) - F'\bigg(u(x) \bigg) \cdot u'(x) =$ .

$= f(v(x))\cdot v'(x)-f(u(x))\cdot u'(x)$

Ejemplo

Calcula la derivada de la función $g(x) = {\displaystyle \int_{x^2}^{x^3}{e^t\space dt}}$ .

$g(x) = {\displaystyle \int_{x^2}^{x^3}{e^t\space dt}}= e^t\bigg]_{x^2}^{x^3} = e^{x^3}-e^{x^2}$

$\underline{g'(x) = e^{x^3}\cdot 3x^2 -e^{x^2}\cdot 2x}$ 

Integrales definidas por cambio de variable

Para cambiar de variable en una integral definida hay que cambiar los límites de integración cuando se cambia la variable, con el teorema de sustitución en integrales definidas. Si $f$ y $g'$ son continuas:

$\displaystyle{ \int_{a}^{b}{f\bigg(g(x)\bigg)\cdot g'(x)}\space dx}= {\large\int_{g(a)}^{g(b)}{f(t)}\space dt}$

Ejemplo

Calcula por cambio de variable $\displaystyle{\large\int_{g(1)}^{g(2)}{x^2\cdot 2x}\space dt}$ :

Asigna el valor a las variables:

$g(x)= x^2 \newline t=x^2 \longrightarrow dt= 2x \space dx$

Sustituye y resuelve:

$\displaystyle{\large\int_{g(1)}^{g(2)}{x^2\cdot 2x}\space dx} = {\large\int_{1}^{4}{t}\space dt}= \cfrac{t^2}{2} \bigg]_{1}^{4}= 8 -\cfrac{1}{2} = \cfrac{15}{2}$