Estudio de integrales: Teorema del valor medio

Teorema del valor medio del cálculo integral

Si tenemos una función $f$ que es continua en $[a,b]$ , existe como mínimo un número $c$ en $[a,b]$ tal que:

$\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx=f(c)(b-a)$

Al número $f(c)$ se le llama valor medio de $f$ en $[a,b]$

Geométricamente, $f(c)$ es la altura del rectángulo de base $b-a$ cuyo área es igual al área encerrada por la curva en el intervalo $[a,b]$

Calcula el valor medio de la función $f(x)=3x^3-2x$ en el intervalo $[-1,0]$

En primer lugar buscamos cual es el valor del área encerrada por la curva mediante la integral definida

$\displaystyle\int_{-1}^0(x^3-3x)dx=\cfrac{x^4}{4}-\cfrac{3x^2}{2}\Bigg|_{-1}^0=\cfrac{5}{4}$

Por último, utilizar el Teorema del valor medio para terminar el ejercicio

$\displaystyle\int_{-1}^0(x^3-3x)dx=f(c)(0-(-1))\implies f(c)=\cfrac{\displaystyle\int_{-1}^0(x^3-3x)dx}{1}\\f(c)=\underline{\cfrac{5}{4}}$ 