Integrales definidas: Propiedades

Integral definida

Sea $f$ una función continua en el intervalo $[a,b]$ , que se divide en $n$ intervalos de longitud $\Delta x=\cfrac{b-a}{n}$ , mediante los puntos $a=x_0<x_1<...<x_n=b$ . Se eligen los puntos $c_i$ como puntos de muestra de cada intervalo $[x_{i-1}, x_i]$ y se forma la suma $\displaystyle\sum_{i=1}^n f(c_i)\Delta x$ .

Entonces

$\displaystyle\int_{a}^b f(x)dx=\lim\limits_{n \to \infty}\displaystyle\sum_{i=1}^nf(c_i)\Delta x$

Recuerda que: No es necesario que todos los subintervalos sean iguales, basta con exigir que el de mayor longitud tienda a 0.

Relación entre integral y área bajo la curva

Cuando $f(x)\geq0$ en $[a,b]$ , entonces $\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx$ será el área de la región limitada por la curva $y=f(x)$ , las rectas verticales $x=a$ y $x=b$ y el eje de abscisas
Cuando $f(x)\leq0$ en $[a,b]$ , entonces $-\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx$ será el área de la región limitada por la curva $y=f(x)$ , las rectas verticales $x=a$ y $x=b$ y el eje de abscisas
Cuando $f(x)>0$ ó $f=0$ en $[a,c]$ y $f<0$ en $[b,c]$ , entonces $\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx$ valdrá $A_1-A_2$ , con $[a,b]$ y $[b,c]$ las áreas encerradas bajo la curva.

Ejemplo

Calcula el área encerrada bajo la curva $f(x)=x^2$ en el intervalo $[1,3]$

Como la función es positiva en todo el intervalo, el área encerrada viene dada por la siguiente integral definida

${\it \displaystyle\int_{1}^3x^2dx= \cfrac{x^3}{3}\ \Bigg|_{1}^{3}=\cfrac{3^3}{3}-\cfrac{1^3}{3}=\underline{\cfrac{26}{3}}}$ 

Propiedades de la integral definida

1.	$\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx=-\displaystyle\int_{b}^af(x)dx$
2.	$\displaystyle\int_{a}^af(x)dx=0$
3.	$\displaystyle\int_{a}^bk\ dx=k(b-a), k\in \R$
4.	$\displaystyle\int_{a}^b(f(x)+g(x))dx=\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx+\displaystyle\int_{a}^bg(x)dx$
5.	$\displaystyle\int_{a}^bkf(x)dx=k\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx, k\in\R$
6.	$\displaystyle\int_{a}^cf(x)dx+\displaystyle\int_{c}^bf(x)dx=\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx$
7.	$f(x)\geq0\ \text{en}\ [a,b]\implies\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx\geq0$
8.	$f(x)\geq g(x)\ \text{en}\ [a,b]\implies\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx\geq\displaystyle\int_{a}^bg(x)dx$
9.	$m\leq f(x)\leq M\ \text{en}\ [a,b]\implies m(b-a)\leq\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx\leq M(b-a)$
10.	$\Bigg\|\displaystyle\int_{a}^bf(x)dx\ \Bigg\|\leq\displaystyle\int_{a}^b\|f(x)\|dx$

Ejemplo

Calcula ${\it \displaystyle\int_{a}^b(2x^2+x^3)dx}$

$\it {\displaystyle\int_{1}^2(2x^2+x^3)dx=2\displaystyle\int_{1}^2x^2\ dx+\displaystyle\int_{1}^2x^3\ dx=2\left (\cfrac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{1}^2+\cfrac{x^4}{4}\Bigg|_{1}^2=\cfrac{14}{3}-\cfrac{15}{4}=\underline{\cfrac{11}{12}}}$