Integración de funciones racionales

Teorema de descomposición en fracciones simples

Si $\bold{grado\ P(x)< grado\ Q(x)}$ , la función $\cfrac{P(x)}{Q(x)}$ puede escribirse como suma de fracciones simples de acuerdo a las siguientes condiciones:

Por cada raíz real $r$ de multiplicidad $\alpha$ que tenga $Q(x)$ , escribimos $\alpha$ fracciones de la forma:

$\cfrac{A_1}{x-r}+\cfrac{A_2}{(x-r)^2}+ ... +\cfrac{A_\alpha}{(x-r)^{\alpha}}$

Por cada pareja de raíces complejas conjugadas de multiplicidad $\beta$ que tenga $Q(x)$ , escribimos $\beta$ fracciones de la forma:

$\cfrac{M_1x+N_1}{x^2+ax+b}+\cfrac{M_2x+N_2}{(x^2+ax+b)^2}+...+\cfrac{M_\beta x+N_\beta}{(x^2+ax+b)^\beta}$

Si $\bold{grado\ P(x)\geq grado\ Q(x)}$ , hacemos la división:

$\cfrac{P(x)}{Q(x)}=C(x)+\cfrac{R(x)}{Q(x)}$

Donde $C (x)$ es el cociente y $R (x)$ el resto

En este caso, la primitiva se calcula obteniendo la de $C(x)$ y la de una fracción en la que se cumpla que $\bold{grado\ P(x)\geq grado\ Q(x)}$ .

Cálculo de integrales racionales indefinidas

Raíces reales en el denominador

Ejemplo

Resuelve la siguiente integral: $\it \displaystyle\intop{\cfrac{x^2-8}{x^3+2x^2} dx}$

Como el grado del denominador es menor que el grado del numerador comenzamos por la descomposición del denominador.

$\cfrac{x^2-8}{x^3+2x^2}=\cfrac{x^2-8}{x^2(x+2)}=\cfrac{A}{x^2}+\cfrac{B}{x}+\cfrac{C}{x+2}$

Efectuamos la suma:

${ x^2-8=A(x+2)+Bx(x+2)+Cx^2}\\{ x^2-8=(B+C)x^2+(A+2B)x+2A}\\\hspace{5mm}\\{ A=-4\qquad B=2\qquad C=-1}$

Igualamos numeradores y calculamos los coeficientes $\it A, B, C$ igualando los coeficientes

${x^2-8=A(x+2)+Bx(x+2)+Cx^2}\\{x^2-8=(B+C)x^2+(A+2B)x+2A}\\ \hspace{5mm}\\{A=-4\qquad B=2\qquad C=-1}$

Reescribimos la integral y calculamos

$\int \cfrac{x^2-8}{x^3+2x^2}dx=-4\int\cfrac{dx}{x^2}+2\int\cfrac{dx}{x}-\int\cfrac{dx}{x+2}}\\{-4\displaystyle\int\cfrac{dx}{x^2}+2\int\cfrac{dx}{x}-\int\cfrac{dx}{x+2}=\cfrac{4}{x}+2\ln x-\ln (x+2)+C$

Raíces reales y complejas en el denominador

Ejemplo

Resuelve la siguiente integral: $\displaystyle\int \cfrac{2x^2+3}{x^3+3x}$

Como el grado del denominador es menor que el grado del numerador comenzamos con la descomposición del denominador

${ \cfrac{2x^2+3}{x^3+3x}=\cfrac{2x^2+3}{x(x^2+3)}=\cfrac{A}{x}+\cfrac{Bx+C}{x^2+3}}$ 

Efectuamos la suma

${\cfrac{2x^2+3}{x^3+3x}=\cfrac{A(x^2+3)+(Bx+C)x}{x(x^2+3)}}$ 

Igualamos numeradores y calculamos los coeficientes $\it A,B,C$ igualando coeficientes

${2x^2+3=A(x^2+3)+(Bx+C)x}\\{2x^2+3=(A+B)x^2+Cx+3A}\\ \hspace{5mm}\\{A= 1\qquad B=1\qquad C=0}$

Reescribimos la integral y calculamos

$\int\cfrac{2x^2+3}{x^3+3x}dx=\int\cfrac{dx}{x}+\int\cfrac{xdx}{x^2+3}}\\{\displaystyle\int\cfrac{dx}{x}+\int\cfrac{xdx}{x^2+3}=\ln x+\cfrac{1}{2}\ln(x^2+3)+C$