Estudio de derivadas: Teorema del Valor Medio

Teorema del valor medio

Sea $f(x)$ una función continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$ , entonces existe un punto $c \in (a,b)$ que cumple:

$f'(c)= \cfrac {f(b)-f(a)}{b-a}$

Comprueba el Teorema del Valor Medio $f(x)=3x^2 +2x+8$ en $[1,3]$

Comprueba las hipótesis

$f(x)$ es continua en $[1,3]$ por ser función polinómica

$f(x)$ es derivable en $(1,3)$ por ser función polinómica

Por tanto la derivada de $f(x)$ en $c$ es:

$f'(c) = \cfrac {f(3)-f(1)}{3-1} = \cfrac{41-13}{2}=14$

$14$ es el valor de la derivada en el punto $c$

Si calculas la derivada en $c$ y la igualas a $14$ , obtienes que $c$ es

$f'(c)=6c+2=146\Rightarrow c=12 \Rightarrow c=\cfrac{12}{6} \Rightarrow \underline {c=2}$

$c \in [1,3]$

Sea $f(x)$ derivable en $(a,b)$

Además, si $f(x)$ es continua en $a$ y existe $\lim_{x \to a^+}f'(x)$ entonces $f'(a^+) = \lim_{x\to a^+}f'(x)$ y lo mismo para $a^-$ .