Estudio de derivadas: Teorema de Rolle

El Teorema de Rolle demuestra la existencia de un punto interior a un intervalo abierto para el que la derivada de una función es nula cuando el valor de los extremos del intervalo es igual a cero todo ello sin hallar la derivada.

Teorema

Sea $f(x)$ una función que:

Continua en $[a,b]$
Derivable en $(a,b)$
$f(a)=f(b)$

Entonces:

Existe un punto $c$ que pertenece al intervalo $(a,b)$ , tal que la derivada de la función en $c$ es igual a $0$

{ $\exists \space c \in (a,b) \space | \space f' (c)=0$ }

Recuerda que: Si no se cumple alguna de las hipótesis del teorema, entonces el teorema no se cumple.

Ejemplo

Aplica el Teorema de Rolle en la función $f(x)=x-x^3$ en $[0,1]$

 $f(x)$ es continua en $[0,1]$ por ser función polinómica

$f(x)$ es derivable en $(0,1)$ por ser función polinómica

$f(0)=f(1)=0$

Entonces se cumple Teorema de Rolle

Comprobación:

Calcula la derivada de la función

$f'(x)=1-3x^2$

Calcula $f'(c)=0$ 

 $f'(c)=1-3c^2=0 \rightarrow c=\pm \cfrac{1}{\sqrt{3}}$

$\cfrac{-1}{\sqrt{3}} \not\in (0,1)$

$\cfrac{1}{\sqrt{3}} \in (0,1)$ 