Derivadas y monotonía de una función

Para conocer si una función es creciente o decreciente en un tramo, se aplican las derivadas. Por tanto, una aplicación de las derivadas es el estudio de la monotonía de una función.

Monotonía de una función

Sea $f(x)$ una función continua en $a$ ,

$f(x)$ es creciente en $x=a$ si existe un entorno de $a$ que:

$f(a) \le f(x)$ para todo punto $x \gt a$

$f(a) \ge f(x)$ para todo punto $x \lt a$

$f(x)$ es decreciente en $x=a$ si existe un entorno de $a$ que:

$f(a) \ge f(x)$ para todo punto $x \gt a$

$f(a) \le f(x)$ para todo punto $x \lt a$

Aplicación de las derivadas

Sea $f(x)$ una función derivable en $a$ :

Si $f'(a) \gt 0 \rightarrow$ $f(x)$ es creciente en ese punto $a$
Si $f'(a) \lt 0 \rightarrow$ $f(x)$ es decreciente en ese punto $a$
Si $f'(a) = 0 \rightarrow f(x)$ hay un extremo relativo en ese punto $a$

Recuerda que: Para conocer el tipo de extremo relativo (máximo o mínimo) hay que estudiar el crecimiento en $x \lt a$ y $x \gt a$

Ejemplo

Estudia la monotonía y extremos relativos de $f(x) = 3x^5 - 5x^3$

Calcula la derivada de $f(x)$

 $f'(x) = 15x^4-15x^2$

Iguala la $f'(x)=0$ para obtener los puntos críticos

 $15x^4-15x^2=0 \rightarrow 15x^2(x^2-1)=0 \rightarrow x(x-1)(x+1) \\x=0 \\ x=1 \\x=-1$

Estudia el crecimiento en cada intervalo

Matemáticas; Derivadas; 1. Bachillerato; Derivadas y monotonía de una función

$\underline {\text {Creciente en }(-\infty , -1) \cup (1 , + \infty)}$ 

$\underline {\text {Decreciente en} \space (-1 , 1 )}$

$\underline {\text{Máximo relativo en } x=-1}$

$\underline {\text{Mínimo relativo en }x=1}$