Derivada de la función inversa

Derivar funciones inversas

Si dadas dos funciones $f$ y $g$ , una es la inversa de la otra, se cumple que $(f \circ g)(x)=x$ . Por lo tanto, derivando a ambos lados de la igualdad, se cumple que:

$(f \circ g)'(x)=1$

Teniendo esto en cuenta, para hallar la derivada de la inversa de $g$ se puede aplicar la regla de la cadena:

$(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x) \newline 1=f'(g(x))\cdot g'(x) \newline g'(x)=\cfrac{1}{f'(g(x))}$

Por lo tanto, si una función $f$ , y su inversa $f^{-1}$ , existen y son derivables, se cumple que:

$\bold{(f^{-1})'(x)=\cfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}}$

Recuerda que: En funciones inversas se tiene que cumplir que ${\it (f \circ f^{-1})(x)=(f^{-1} \circ f)(x)=x}$ , por lo que da igual a qué llamemos $f$ y a qué llamemos $f^{-1}$ .

Ejemplo

Deduce la derivada de ${\it f(x)=\sqrt[5]{x}}$ 

En primer lugar, calculamos la inversa de $f$ :

${ f^{-1}=x^5 \quad \rm ya \ que \quad (f \circ f^{-1})(x)=\sqrt[5]{x^5}=x}$ 

Por último, aplicamos la fórmula de la derivada de una función inversa:

${ f^{-1}(f(x))=(\sqrt[5]{x})^5}\\{f\ ''(x)=\cfrac{1}{(f^{-1})'(f(x))}=\cfrac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}}$