Cálculo de derivadas: Regla de la cadena

Regla de la cadena

Definición

Para poder derivar funciones que son compuestas, existe la conocida como la regla de la cadena:

"Si $g(x)$ tiene derivada en $x$ y $f(x)$ tiene derivada en $g(x)$ , entonces la función $(f\circ g)(x)$ tiene derivada en $x$ y es $(f \circ g)´(x)=f´(g(x))\cdot g´(x)$ "

Ejemplo

Calcula la derivada de la función ${h(x)=(x^2-3)^3}$ a través de la derivación de funciones compuestas.

En primer lugar, se debe de buscar cuáles son las funciones que, compuestas, dan lugar a la función original.

Si se observa $h$ , al mirarla desde fuera nos encontramos con un cubo, por lo que la primera función a componer será:

${\it f(x)=x^3}$

Como lo que se quiere elevar al cubo no es $x$ , la otra función será el polinomio que se quiere elevar al cubo, es decir:

${ g(x)=x^2-3}$

Así, efectivamente se obtiene que:

${ h(x)=(x^2-3)^3\qquad\qquad f(x)=x^3\qquad g(x)=x^2-3}\\{h(x)=(f \circ g)(x)}$

Una vez que ya se ha conseguido reescribir nuestra función como una función compuesta, utilizamos la regla de derivación para funciones compuestas

${ h´(x)=(f \circ g)´(x)}\\{ (f\circ g)´(x)=f´´(g(x))\cdot g´(x)=3(x^2-3)^2\cdot2x=\underline{6x(x^2-3)}}$

Aplicación sucesiva de la regla de la cadena

Si una función se obtiene por composición de tres o más funciones, para obtener su derivada se aplica la asociatividad de la composición y la regla de la cadena.

$t´(x)=(f \circ g \circ h)´(x)=f´((g \circ h)(x))\cdot g´(h(x))\cdot h´(x)$

Ejemplo

Calcula la derivada de la función ${t(x)=\left (\sqrt{x^3-2}\right)^3}$ a través de la regla de la cadena.

En primer lugar, se debe buscar cuáles son las funciones que, compuestas, dan lugar a la función original.

Observando la función de fuera hacia dentro se encuentra un cubo, después una raíz y por último un polinomio. Así, obtenemos:

${t(x)=\left (\sqrt{x^3-2}\right)^3 \qquad f(x)=x^3\qquad g(x)=\sqrt{x}\qquad h(x)=x^3-2}\\{\it t(x)=(f \circ g\circ h)(x)}$

Una vez se haya conseguido reescribir la función como una función compuesta, utilizamos la regla de la cadena para obtener la derivada

${ t´(x)=(f \circ g \circ h)´(x)}\\{(f \circ g \circ h)´(x)=f´´((g \circ h)(x))\cdot g´(h(x))\cdot h´(x)=3\left (\sqrt{x^3-2}\right)^2\cdot \cfrac{1}{2\sqrt{x^3-2}}\cdot 3x^2=\underline{\cfrac{9x^2\sqrt{x^3-2}}{2}}}$