Propiedades y cálculo de límites

Propiedades

Los límites siguen una serie de propiedades:

1.	Si existe el límite de una función, es único.
2.	Si $\lim \limits_{x \to a}f(x) = b$ y $\lim \limits_{x \to a}g(x) = c$ , siempre que los resultados tengan sentido en $\reals$ , se verifica: $\lim \limits_{x \to a} [f(x)\pm g(x)] = b \pm c$ $\lim \limits_{x \to a} [f(x)\cdot g(x)] = b \cdot c$ $\lim \limits_{x \to a} \cfrac{f(x)}{g(x)} = \cfrac{b}{c} \text{ siempre que }c\neq 0$ $\lim \limits_{x \to a} [f(x)^{ g(x)}] = b^{c} \text{ siempre que } b>0$
3.	Si existe $\lim \limits_{x \to a}f(x)$ y es finito, siempre que los resultados tengan sentido en $\reals$ , se verifica: $\lim \limits_{x \to a} [f(x)]^m = [\lim \limits_{x \to a}f(x)]^m$ $\lim \limits_{x \to a}\sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim \limits_{x \to a}f(x)}$ $\lim \limits_{x \to a}e^{f(x)}=e^{\lim \limits_{x \to a}f(x)}$ $\lim \limits_{x \to a}\space \ln[{f(x)}] = \ln\space[\lim \limits_{x \to a}{f(x)}]$ $\lim \limits_{x \to a}\space \text{sen}[{f(x)}] = \text{sen} \space [\lim \limits_{x \to a}\space{f(x)}]$ $\lim \limits_{x \to a}\space \cos\left[{f(x)}\right] = \cos \space [\lim \limits_{x \to a}\space{f(x)}]$ $\lim \limits_{x \to a}\space \tan[{f(x)}] = \tan \space [\lim \limits_{x \to a}\space{f(x)}]$

Cálculo de los límites

Para calcular límites es necesario operar con $\pm \infty$ .

procedimiento

1.	Si el límite tiende a $\pm \infty$ elimina todo menos la incógnita de mayor grado.
2.	Sustituye la incógnita con el valor hacia el que tiende $x$ , valor numérico ó $\infty$ .
3.	Opera con $\infty$ y resuelve el límite.

Ejemplo

Resuelve el siguiente límite cuando $x$ tiende a $+\infty$ :

$\it \lim \limits_{x \to +\infty} \cfrac{x^4-x^2+4}{x^3-5}$ 

Entonces

$\lim \limits_{x \to +\infty} \cfrac{x^4-x^2+4}{x^3-5} =\lim \limits_{x \to +\infty} \cfrac{x^4-\cancel{x^2}+\cancel4}{{x^3}-\cancel{5}} = \lim \limits_{x \to +\infty} \cfrac{x^4}{x^3} = \lim \limits_{x \to +\infty} x = +\infty$

Recuerda que: Debes seguir poniendo $\lim \limits_{x \to a}$ hasta que resuelvas por completo el límite.

Indeterminaciones

Aparecen indeterminaciones cuando no se puede asegurar nada sobre el límite en ese punto de la función.

Tipos de indeterminaciones

$\lim \limits_{x \to +\infty} x-x = \infty - \infty$	$\lim \limits_{x \to +3}\cfrac{x^2-9}{x-3} =\cfrac{0}{0}$
$\lim \limits_{x \to +\infty} \cfrac{3x^2+4}{2x}=\cfrac{\infty}{\infty}$	$\lim \limits_{x \to +\infty}= \infty^0$
$\lim \limits_{x \to +\infty}x\cdot e^{-x} = \infty\cdot 0$	$\lim \limits_{x \to +\infty} \bigg (\cfrac{x^2-3}{x^2-5}\bigg )^{3x+1}=1^\infty$