Límites de funciones y tipos de continuidad

Continuidad de una función

La continuidad de una función se define mediante un ejemplo de lápiz y papel. Si para dibujar una función no tienes que levantar el lápiz de la hoja, la función es continua.

Ejemplo

La función es discontinua en el punto $(4,1)$

Matemáticas; Funciones; 1. Bachillerato; Límites de funciones y tipos de continuidad

Continuidad en un punto

Una función es continua en un punto $x=a$ si cumple estas tres condiciones.

Que el punto tenga imagen, es decir, que exista $f(a)$
Que exista $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ , es decir, que $\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to a^-}f(x)$
Que las últimas dos condiciones coincidan, es decir, $f(a)=\lim\limits_{x\to a}f(x)$

En función de qué condiciones se incumplan, se tienen las siguientes discontinuidades:

Inevitables	De salto finito o $\lim\limits_{x\to a^-}f(x)$ o $\lim\limits_{x\to a^+}f(x) = \pm\infty$ De salto infinito o $\lim\limits_{x\to a^+}f(x) \cancel{=} \lim\limits_{x\to a^-}f(x) \cancel{=}\pm\infty$
Evitables	$f(a)\cancel{=}\lim\limits_{x\to a}f(x)$

Ejemplo

La función tiene una discontinuidad evitable en $(a,f(a))$ pues $f(a)\cancel{=}\lim\limits_{x\to a}f(x)$

Matemáticas; Funciones; 1. Bachillerato; Límites de funciones y tipos de continuidad

Continuidad de funciones

Se establecen las siguientes reglas relativas a la continuidad de estas funciones.

Polinómicas	Son continuas en todo su dominio.
Racionales	Continuas en todo su dominio excepto en los números que anulan su denominador.
Radicales	Las de índice par son continuas en todo su dominio excepto en los números que hacen la raíz menor que cero.