Ecuaciones matriciales: Resolución y propiedades

Aprender a resolver ecuaciones matriciales

Las ecuaciones matriciales son aquellas ecuaciones en las que todos los elementos son matrices y se requiere despejar una matriz $X$ .

PROCEDIMIENTO

1.	Pasa a un lado de la igualdad los elementos que contengan la matriz $X$ .
2.	Multiplica la matriz que esté al lado de la $X$ por su inversa (por el mismo lado donde esté la matriz $X$ ).
3.	Multiplica el otro miembro por esa matriz inversa en el mismo lado.
4.	Si hay varias $X$ , se saca factor común. Recuerda que: Es importante el orden de los productos. $XA+XB=X(A+B)\newline AX+BX=(A+B)X$
5.	Sustituye el producto de la matriz por su inversa por la matriz identidad. $A^{-1}\cdot A=I \newline A\cdot A^{-1}=I$
6.	La matriz identidad multiplicada por la $X$ equivale a $X$ . $I\cdot X=X \newline X\cdot I=X$
7.	Calcula el valor de $X$ operando en el otro miembro de la igualdad.

Propiedades de multiplicación de las matrices

Para poder resolver las ecuaciones matriciales, se deben tener en cuenta las propiedades de la multiplicación de las matrices:

La multiplicación no admite la propiedad conmutativa $\longrightarrow A\cdot B\neq B\cdot A$ .
La matriz identidad es un elemento neutro $\longrightarrow A\cdot I=I\cdot A=A$ .
Una matriz por su inversa es la matriz identidad $\longrightarrow A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I$

Ejemplo

Resuelve la siguiente ecuación matricial:

$XA+B=CA$ 

Se puede resolver de la siguiente forma:

$XA=CA-B \rightarrow X=(CA-B){A^{-1}}\rightarrow XA\cdot A^{-1}=(CA-B)\cdot A^{-1}\rightarrow \newline X\cdot I=(CA-B)A^{-1}\rightarrow \underline{X=(CA-B)A^{-1}}$