Cálculo de determinantes

Cálculo de determinantes de matrices de cualquier grado

Existen ciertos procedimientos para calcular los determinantes de cualquier grado como por ejemplo el desarrollo por adjuntos o el método de Gauss.

Determinante de una matriz triangular

El determinante de una matriz triangular se calcula multiplicando los elementos de la diagonal principal.

Ejemplo

Calcula el determinante de la siguiente matriz:

$|A|=\begin{vmatrix}5 & 3\\0 & 2\end{vmatrix}=5\cdot2=\underline{10}$

Cálculo de determinantes por el método de Gauss

Se pueden aplicar ciertas transformaciones para convertir una matriz cuadrada en una matriz triangular cuyo determinante es más sencillo de calcular. Estas transformaciones tienen un efecto sobre el determinante conocido:

Transformación	Efecto sobre el determinante
Intercambiar dos columnas o filas entre sí.	Se cambia el signo del determinante.
Multiplicar una columna o fila por un número.	Se multiplica el determinante por ese número.
Sumar a una columna o fila otra multiplicada por un número.	El determinante no cambia.
Transponer la matriz.	El determinante no cambia.
Sumar a una columna o fila una combinación lineal de las paralelas.	El determinante no cambia.

PROCEDIMIENTO

1.	Aplica transformaciones a la matriz inicial para convertirla en una matriz triangular.
2.	Calcula el determinante de la matriz triangular mediante la multiplicación de los elementos de su diagonal principal.
3.	Calcula el determinante de la matriz inicial sabiendo el efecto de las transformaciones del Paso 1 sobre el determinante.

Ejemplo

Calcula el determinante de esta matriz aplicando el método de Gauss:

$\begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\-1 & 2 & 4\\1 & 4 & 1\end{vmatrix}\underset{F_2+F_1; F_3-F_1}{=}\begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\0 & 4 & 7\\0 & 2 & -2\end{vmatrix}\underset{2F_3}{=}\cfrac{1}{2}\begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\0 & 4 & 7\\0 & 4 & -4\end{vmatrix}\underset{F_3-F_2}{=}\cfrac{1}{2}\begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\0 & 4 & 7\\0 & 0 & -11\end{vmatrix}=\cfrac {1}{2}\cdot 1 \cdot 4 \cdot (-11)=\underline{-22}$

Desarrollo por adjuntos

Otra manera de calcular determinantes es mediante el desarrollo por adjuntos de cualquier columna o fila de la matriz. Sea así una matriz $A$ de orden $n$ , su determinante se puede calcular como la suma de los elementos de cualquier fila o columna multiplicados por sus adjuntos:

$\text{Para cualquier fila }i, 1\leq i\leq n:|A|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}\newline\text{Para cualquier columna }j, 1\leq j\leq n:|A|=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj}$

Ejemplo

Calcula el determinante de esta matriz aplicando el método de desarrollo por adjuntos:

$\begin{vmatrix}3 & 2 & 1\\0 & 2 & -5\\-2 & 1 & 4\end{vmatrix}=3\begin{vmatrix}2 & -5\\1 & 4 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}0 & -5\\-2 & 4 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}0 & 2\\-2 & 1 \end{vmatrix}=3(8+5)-2(0-10)+1(0+4)\newline=39+20+4=\underline{63}$