Introducción a los determinantes

Conceptos básicos de los determinantes

Definición

El determinante es un número calculado a partir de todos los elementos de una matriz. A cada matriz cuadrada se le puede asignar un determinante.

Se puede escribir así:

$det(A) \text { o } |A|$

Cálculo del determinante

Dependiendo de la dimensión de la matriz, se utiliza una fórmula diferente para calcular el determinante:

Dimensión	Matriz	Determinante
$2\text x2$	$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$	$det(A)=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}$
$3\text x3$	$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}$	$det(A)=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}\newline -a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{23}\cdot a_{32}\cdot a_{11}-a_{33}\cdot a_{12}\cdot a_{21}$

Truco: Para calcular determinantes en matrices de $3\text x3$ , expande la matriz con las dos primeras columnas, multiplica a lo largo de la diagonal marcada y calcula los productos.

Matemáticas; Determinantes; 2. Bachillerato; Introducción a los determinantes

Ejemplo

Calcula el determinante de la siguiente matriz:

$\begin{vmatrix}1 & 3 & 5\\-2 & 1 & -2\\2 & 0 & -3\end{vmatrix}=1\cdot1\cdot(-3)+3\cdot(-2)\cdot2+5\cdot(-2)\cdot0-2\cdot1\cdot5-0\cdot(-2)\cdot1-(-3)\cdot(-2)\cdot3=-3-12+0-10+0-18=\underline{-43}$

Elementos de las matrices

Menor complementario de una matriz

El menor complementario, $\alpha_{ij}$ , del elemento $a_{ij}$ es un determinante $(n-1)$ que se obtiene al eliminar la fila $i$ y la columna $j$ de una matriz cuadrada $A$ de orden $n$ .

$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\\color{green}{a_{21}} & a_{22} & \color{green}{a_{23}}\\\color{green}{a_{31}} & a_{32} & \color{green}{a_{33}}\end{pmatrix}\rightarrow \alpha_{12}=\begin{vmatrix}\color{green}{a_{21}} & \color{green}{a_{23}} \\\color{green}{a_{31}} & \color{green}{a_{33}}\end{vmatrix}$

Adjunto de un elemento

El adjunto de un elemento, $A_{ij}$ , es el menor complementario de $A$ ( $\alpha_{ij}$ ) precedido del signo $+ \text{ o }-$ según la suma de los subíndices $(i+j)$ sea par o impar.

$A_{ij}=(-1)^{i+j}\alpha_{ij}$