Método de Gauss: Obtención de una matriz triangular

Definición

El método de Gauss permite transformar una matriz en una matriz triangular del mismo rango. Una matriz triangular permite reconocer el rango de una matriz de manera más rápida y sencilla.

Ejemplo

$rg \begin{pmatrix}2 & 5 & 0\\0 & 3 & 8\\0 & 0 & 1\end{pmatrix} = 3$

El rango es $3$ , ya que hay $3$ filas con elementos no nulos

$rg \begin{pmatrix}2 & 5 & 0\\0 & 3 & 8\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}= 2$

El rango es $2$ porque hay $2$ filas con elementos no nulos

PROCEDIMIENTO

1.	Ordena las filas preferiblemente para que el elemento de la primera fila sea 1. La primera fila será la de referencia.
2.	Modifica la segunda fila (multiplicando o dividiendo) para eliminar su primer elemento al sumar las dos filas.
3.	Sigue realizando transformaciones elementales por filas hasta obtener una matriz escalonada por filas.
4.	El rango será el número de filas no nulas de la matriz resultante

Ejemplo

Halla el rango de la matriz $\begin{pmatrix}2 & 5 & 3\\1 & 2 &0\\4 & 7 & 2\end{pmatrix}$

Cambia de posición la segunda fila

$\begin{pmatrix}1 & 2 &0\\2 & 5 & 3\\4 & 7 & 2\end{pmatrix}$

Anula el primer elemento de la segunda fila

${F_2=2F_1-F_2}$ 

$\begin{pmatrix}1 & 2 &0\\0 & -1 & -3\\4 & 7 & 2\end{pmatrix}$

Anula el primer elemento de la tercera fila

${F_3=4F_1-F_3}$ 

$\begin{pmatrix}1 & 2 &0\\0 & -1 & -3\\0 & 1 & -2\end{pmatrix}$

Anula el segundo elemento de la tercera fila

${F_3=F_2+F_3}$ 

$\begin{pmatrix}1 & 2 &0\\0 & -1 & -3\\0 & 0 & -5\end{pmatrix}$

Como hay tres filas con elementos no nulos, el rango es tres

$\underline {rg=3}$