Sistemas dependientes de parámetros

Resolver sistemas dependientes de parámetros

Definición

Son sistemas que dependen de un parámetro $a$ .
Según el valor de este parámetro, el sistema podrá ser:
- Compatible determinado
- Compatible indeterminado
- Incompatible

procedimiento

1.	Dado un sistema de ecuaciones, obtén la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ .
2.	Calcula los valores de $a$ para los que el determinante de $A$ es $0$ .
3.	Calcula el rango de $A$ y $A^*$ y discute el sistema para cada valor de $a$

Ejemplo

Discute el tipo de sistema según los valores de $a$ .

\left\{ \begin{array}{ l }{ax + 2y - z = 1}\\ {5x - 4y + 2z = 0} \\ {x + 3ay = a + }\cfrac{{2}}{{5}} \end{array} \right.

{A} =\begin{pmatrix}{a} & {2} & {-1}\\{5} & {-4} & {2}\\{1} & {3a} & {1}\end{pmatrix}

\textit{A*} =\begin{pmatrix}\textit{a} & \textit{2} & \textit{-1} & | & \textit{1} \\\textit{5} & \textit{-4} & \textit{2}& | & \textit{0} \\\textit{1} & \textit{3a} & \textit{1} & | & \textit{a + }\frac{\textit{2}}{\textit{5}}\end{pmatrix}

|A| =\left|\begin{array}{cc}{a} & {2} &{-1} \\{5} & {-4} &{2} \\{1} & {3a} & {0}\end{array}\right| = {[0 + 4 - 15a] - [4 + 6a}^{2}{+ 0] = 0}

${4 - 15a - 4 -6a}^{2}{ = 0} \rightarrow{-6a}^{2}{ - 15a = 0} \rightarrow{-a(6a + 15) = 0}$

${a = 0}$ y ${a = -}\cfrac{{5}}{{2}}$

Se estudia el tipo de sistema en función de los valores de $a$ .

\boxed{\textit{a = 0 }}

Se calcula el rango de $A$ y $A^*$ .

\bold{|A|} =\left|\begin{array}{cc}{0} & {2} & {-1} \\{5} & {-4} & {2} \\{1} & {0} &{0}\end{array}\right|

={[0 + 4 - 0] - [4 + 0 + 0] = 0}

|A| =\left|\begin{array}{cc}{0} & {2} \\{5} &{-4} \end{array}\right| = {0 - 10 = -10} \to {Rg(A)=2}

\bold{|A^*|} =\left|\begin{array}{cc}{0} &{2} & {1} \\{5} & {-4} &{0} \\{1} &{0} & \frac{{2}}{{5}} \end{array}\right|

{= [0 + 0 + 0] - [-4 + 4] = 0}

{|A*|} =\left|\begin{array}{cc}{0} &{2} \\{5} & {-4} \end{array}\right| ={0 - 10 = -10} \to {Rg(A^*)=2}

Para clasificar el sistema una vez que ya sabes los rangos de las matrices, hay que compararlos con el número de incógnitas que tiene el sistema.

$\rm \underline{{a = 0 }\rightarrow{Rg(A)=Rg(A^*)=2 < 3\ Incógnitas}\rightarrow Sistema \space Compatible \space Indeterminado}$

\boxed{\textit{a =}\cfrac{\textit{5}}{\textit{2 }}}

\rm \underline{{a =}\cfrac{\text{-5}}{{2}}\rightarrow\textit{Rg(A)=2}\neq{Rg(A*)=3} \rightarrow \space {Sistema}\space {Incompatible}}

\boxed{\textit{a}\neq \cfrac{\textit{-5}}{\textit{2}},\textit{0}}

Para este caso ${|A|=|A*|}\neq{0} \rightarrow {Rg(A)=Rg(A*)=3}$ 

$\rm \underline{{{a}\neq \cfrac{{-5}}{{2}},{0}} \rightarrow {Rg(A)=Rg(A*)=Incógnitas=3} \rightarrow{Sistema Compatible Determinado}}$

Para concluir puedes hacer una tabla en la que colocas todos los valores posibles de $a$ y comparas los rangos de la matrices y el número de incógnitas para saber si se trata de un SCD, SCI o SI.

	$\textit{Rg(A)}$	$\textit{Rg(A*)}$
${a = 0 }$	${2}$	${2}$	Sistema Compatible Indeterminado (SCI).
${a =}\cfrac{{5}}{{2 }}$	${2}$	${3}$	Sistema Incompatible (SI).
${a}\neq \cfrac{{-5}}{{2}},{0}$	${3}$	${3}$	Sistema Compatible Determinado (SCD).