Ecuaciones con expresiones logarítmicas

Resolver ecuaciones logarítmicas

Definición

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que la incógnita se encuentra realizando alguna operación en un logaritmo. Esta incógnita se puede encontrar:

Multiplicando	$xlog_{10}3=log_{10}9$
eN LA BASE	$log_{x}4=2$
EN EL ARGUMENTO	$log(x+1)=1-log(5)$

Recuerda que: $log_an=x\implies a^x=n$ es una ecuación logarítmica que se resolvía de manera inmediata aplicando las propiedades de los logaritmos.

Resolución de ecuaciones logarítmicas

Para resolver ecuaciones logarítmicas es necesario dominar las propiedades de los logaritmos.

PROCEDIMIENTO

1.	Establece una base común a todos los logaritmos, si no la tuvieran, mediante un cambio de base: $log_bA=\cfrac{log_nA}{log_nb}$
2.	Aplica las propiedades de los logaritmos para llegar a una ecuación de la forma: $log{A}=log{B}\Longleftrightarrow A=B$
3.	Realiza el cambio de variable si fuese necesario y despeja la $x$ : $z=log{x}$
4.	Comprueba que la solución es válida en la ecuación original.

Recuerda que: No existe el logaritmo de cero ni de números negativos, por eso debes comprobar si la solución obtenida es válida.

Ejemplo

Resuelve

log_3(x+1)=log_9(x+3)

Realizando un cambio de base y aplicando propiedades de los logaritmos:

log_9(x+3)=\cfrac{log_3(x+3)}{log_3(9)}=\cfrac{log_3(x+3)}{2}

=log_3(x+1)=\cfrac{log_3(x+3)}{2}\implies 2log_3(x+1)=log_3(x+3)\implies \cancel{log}_3(x+1)^2=\cancel{log}_3(x+3)

=(x+1)^2=x+3\implies x^2+x-2=0\implies \begin{cases} x_1=1 \\ x_2=-2 \end{cases}

Al comprobar soluciones se observa que

x_2=-2

da lugar a logaritmos negativos.

La única solución es

\underline {x_1=1}