Radicación de números complejos

Fórmula matemática

La raíz $n$ -ésima de un número complejo tiene tantos resultados como indique la $n$ . El módulo de $\sqrt[n]{r_\alpha}$ es $\sqrt[n]{r}$ en todas sus soluciones, pero el argumento es distinto.
Las raíces de un número complejo $r_\alpha$ son los números complejos $s_\beta$ tales que $s=\sqrt[n]{r}$ y $\beta=\cfrac{\alpha +360º\cdot k}{n}$
Como todas las soluciones tienen el mismo módulo, éstas se encuentran sobre una circunferencia de radio $\sqrt[n]{r}$ . La separación entre las soluciones es $\cfrac{360º}{n}$ , por lo que forman un polígono regular de $n$ lados.

Las posibles soluciones de $\sqrt[2]{4_\alpha}$ se encuentran en una circunferencia de radio $2$ centrada en $(0,0)$ .

Si $n=3$  las soluciones formarían un triángulo, si $n=4$  formarían un cuadrado y así sucesivamente.

Calcula y representa gráficamente $\sqrt[4]{1+i}$ .

Primero expresa el número en forma polar:

$\sqrt[4]{1+i}=\sqrt[4]2_{45}$ 

Ahora tienes que calcular los ángulos en los que se encuentra cada una de las cuatro soluciones:

$\cfrac{45º+360ºk}{4}=11,25º+90ºk$

Como es una raíz cuarta, $k=(0,1,2,3)$ . por lo tanto, los ángulos de las cuatro soluciones son:

$\beta_1=11,25º+90º\cdot0=11,25º$

$\beta_2=11,25º+90º\cdot1=101,25º$

$\beta_3=11,25º+90º\cdot2=191,25º$

$\beta_4=11,25º+90º\cdot3=281,25º$

Los cuatro resultados de $\sqrt[4]{1+i}$ son: $\underline{\sqrt[4]2_{11,25},\sqrt[4]2_{101,25},\sqrt[4]2_{191,25},\sqrt[4]2_{281,25}}$ .