Aproximaciones y error de números reales

Aproximaciones y redondeo

Aproximar un número real es sustituirlo por otro racional con un número finito de cifras decimales. Existen principalmente $3$ formas de hacerlo:

Aproximación por defecto o truncamiento	Se sustituye el número original por otro menor que él
Aproximación por exceso	Se sustituye el número original por uno mayor que él
Redondeo	Se desprecian todas las cifras decimales a partir de una en concreto. Si la primera cifra despreciada es menor que 5, se toma como redondeo la aproximación por defecto. Si la primera cifra despreciada es igual o superior a 5 se toma la aproximación por exceso.

Recuerda que: las aproximaciones siempre se hacen en función a un orden dado.

Ejemplo

Calcula las mejores aproximaciones por defecto y por exceso, y el redondeo de $\it \pi=3{,}141592...$ con ninguna, una, dos y tres cifras decimales significativas.

	*Unidad*	*Décima*	*Centésima*	*Milésima*
*Defecto*	$3$	$3{,}1$	$3{,}14$	$3{,}141$
Exceso	$4$	$3{,}2$	$3{,}15$	$3{,}142$
Redondeo	$3$	$3{,}1$	$3{,}14$	$3{,}142$

Error absoluto y error relativo

Al utilizar una aproximación no utilizamos el número original por lo que siempre se comete un error, este error se puede contabilizar de dos maneras diferentes:

Error absoluto	Valor absoluto de la diferencia entre el valor del número real y la aproximación
Error relativo	Cociente entre el error absoluto y el verdadero valor

Ejemplo

Calcula los errores absoluto y relativo que se cometen al utilizar $\it 2,71$ como aproximación de $\it e$ .

$E_a=|e-2{,}71|=|2{,}718281... - 2{,}71|=0{,}008281...\\ E_{r}=\cfrac{E_{a}}{e}=\cfrac{0{,}008281...}{e}= 0{,}003046...$