Berechnung von Längen im 3-dimensionalen Raum

$AB=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Die Längen $a,b$ und $c$ müssen jeweils im rechten Winkel zueinander stehen.

Die Formel lässt sich sehr leicht über das folgende Standardbeispiel herleiten. Gesucht ist die Länge $y$ der Diagonale des Quaders:

Schritt 1:

Berechne die Länge mit dem Satz des Pythagoras in zwei Dimensionen:

$x=\sqrt{9^2+12^2}\,cm$

Schritt 2:

Berechne die Länge mit dem Satz des Pythagoras in zwei Dimensionen:

$y=\sqrt{x^2+8^2}\,cm$

Schritt 3:

Forme um:

$y=\sqrt{x^2+8^2}\,cm=\sqrt{\sqrt{9^2+12^2}^2}\,cm=\sqrt{9^2+12^2+8^2}\,cm=\underline{17\,cm}$

Siehe, dass die Formel in drei Dimensionen stimmt.