Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

Definition

Eine Potenzfunktion mit negativen, ganzzahligen Exponenten hat die Form:

$f(x)=ax^{-n}=\frac{a}{x^n}$

Es gilt:

$a \in \R$ : reeller Koeffizient, $a \ne 0$
$n \in \N$
$f(0)$ ist nicht definiert.

Ordnung einer Potenzfunktion

Die Ordnung gibt der Exponent der Potenzfunktion an.

Beispiel:

$f(x)=\frac{1}{2x^4}=\frac{1}{2}x^{-4}$ 

Diese Funktion hat die Ordnung -4.

Basisfunktionen

Potenzfunktionen der Form $x^{-1}, \ x^{-2}, \ x^{-3} , \ ...$ heißen Basisfunktionen mit negativen Exponenten. Sie enthalten einen Term ohne Koeffizienten.

f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}

f(x)=x^{-2}=\frac{1}{x^2}

f(x)=x^{-3}=\frac{1}{x^3}

$f(x)=...$

Asymptote

Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich eine ins Unendliche verlaufende Funktion nähert, ohne sie zu erreichen. Die Basisfunktionen mit negativen Exponenten haben eine senkrechte Asymptote bei $x=0$ und eine waagerechte Asymptote bei $y=0$ .

Beispiel - Die Asymptoten (schwarz) der Funktion $f(x)=x^{-2}$ 

Mathematik; Die Potenz- / Wurzel- / Exponential- und Logarithmusfunktion; BMS; Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

Definitionsbereich $\mathbb{D}$

In die Basisfunktionen mit negativen Exponenten können alle reellen Zahlen außer 0 eingesetzt werden:

$\mathbb{D}=\R \backslash \{ 0 \}$

Wertebereich $\mathbb{W}$

Ordnung ungerade

(Basisfunktionen)

Die $y$ -Werte können beliebige reelle Zahlen außer Null annehmen:

$\mathbb{W}= \R \backslash \{0\}$

Ordnung gerade

(Basisfunktionen)

Die $y$ -Werte sind immer positiv und ungleich Null:

$\mathbb{W}= \R^+$

Darstellung

Exponent: gerade

$x^{-2}, \ x^{-4}, \ x^{-6}, \ ...$

Exponent: ungerade

$x^{-1}, \ x^{-3}, \ x^{-5}, \ ...$

Mathematik; Die Potenz- / Wurzel- / Exponential- und Logarithmusfunktion; BMS; Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

Mathematik; Die Potenz- / Wurzel- / Exponential- und Logarithmusfunktion; BMS; Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

achsensymmetrisch zur y-Achse:

f(-x)=f(x)

punktsymmetrisch zum Ursprung:

f(-x)=-f(x)

Beispiel: $f(x)=x^{-2}$

x

-3

$-2$

-1

1

2

3

y

1/9

1/4

1

1

1/4

1/9

Beispiel: $f(x)=x^{-3}$

$x$

-3

-2

-1

1

2

3

y

-1 /27

-1/8

-1

1

1/8

1/27