Quadratische Gleichungen lösen

Definition

Quadratische Gleichungen sind Gleichungen einer Variablen, deren höchster Exponent $2$ ist.

$4x^2+3x=5-2x$

Formen

Allgemeine Form

$ax^2+bx+c=0$

$ax^2$ : quadratischer Term ( $a \ne 0$ )

$bx$ : linearer Term

$c$ : konstanter Term

Hinweis:

$b=0$ : $ax^2+c=0$ ist eine reinquadratische Gleichung.

$b \ne 0$ : $ax^2+bx+c=0$ ist eine gemischtquadratische Gleichung.

Begriffe

Koeffizienten sind: $a, b, c, p$ und $q$ .

Variablen sind unbekannte Werte, die meistens mit $x$ bezeichnet werden.

Normalform

$x^2+px+q=0$

$x^2$ : quadratischer Term ohne Koeffizienten

$px$ : linearer Term ( $p=\frac{b}{a}$ )

$q$ : konstanter Term ( $q=\frac{c}{a}$ )

Lösungsmethoden

Eine quadratische Gleichung kann keine, eine oder zwei Lösungen haben.

Je nach Typ einer quadratischen Gleichung empfiehlt sich eine andere Lösungsmethode.

Reinquadratische Gleichung:

$ax^2+c=0$

Empfohlene Lösungsmethode ist die direkte Berechnung.

Normalform mit $q=0$ oder allgemeine Form mit $c=0$ .

$x^2+px=0$

Empfohlene Lösungsmethode ist die Faktorzerlegung (Ausklammern).

Normalform oder allgemeine Form:

$x^2+px+q=0$ oder $ax^2+bx+c=0$

Empfohlene Lösungsmethoden sind: pq-Formel, abc-Formel (Mitternachtsformel), quadratische Ergänzung, Faktorzerlegeung (binomische Formel oder Zweiklammeransatz).

Hinweis: Die Lösungen jeder quadratischen Gleichung lassen sich mit der Mitternachtsformel (pq-Formel oder abc-Formel) bestimmen.