Bruchgleichungen mit Variable im Nenner

Wichtiges in Kürze

Steht bei einer Bruchgleichung die Variable auch im Nenner, so muss man zuerst den Definitionsbereich für die Gleichung bestimmen. Danach bestimmt man die Lösung der Gleichung. Dies ist notwendig, damit im Nenner keine Null steht, da teilen durch Null nicht definiert ist.

Definitionsbereich bestimmen

Der Definitionsbereich ( $\mathbb{D}$ ) gibt an, welche Werte man für $x$ in die Gleichung einsetzen darf.

Bei einem Bruch darf im Nenner nie Null stehen!

$\mathbb{D}=\R \backslash \{ \text{ "Nicht erlaubte x-Werte"}\}$

Vorgehen

1.

Setze die Terme mit $x$ im Nenner einzeln gleich Null.

2.

Löse die einzelnen Gleichungen nach $x$ auf.

Alle Lösungen sind „nicht erlaubte $x$ -Werte“.

3.

Notieren den Definitionsbereich: $\mathbb{D}= \R \backslash \{...\}$

Alle „nicht erlaubte $x$ -Werte“ schreibt man in die Klammer.

Beispiel

$\frac{3x}{3x-6}=\frac{x+2}{x+3}$ 

Nenner mit $x$ gleich Null:

$3x-6=0$ und $x+3=0$

$\underline{x=2}$ und $\underline{x=-3}$ 

Definitionsbereich: $\mathbb{D}=\R \backslash \{-3, 2 \}$ 

Bruchgleichungen lösen

Um die Gleichung zu lösen kannst Du versuchen die Nenner gleichnamig zu machen und mit dem gemeinsamen Nenner zu multiplizieren. Dadurch wirst Du die Variablen im Nenner los und kannst wie gewohnt vorgehen.

Vorgehen

1.	Suche nach Hauptnennern. Um dies zu tun, faktorisiere die Nenner und bestimme so die Hauptnenner. Tipp: Nutze Ausklammern, Binomische Formeln oder den Zweiklammeransatz.
2.	Mache die Brüche gleichnamig mithilfe der Hauptnenner. Alternativ kannst du auch die gesamte Gleichung mit allen Nennern die in der Gleichung vorkommen multiplizieren. Je nach Aufgabe kann das aber umständlicher sein.
3.	Multipliziere mit dem gleichen Nenner. Tipp: Dadurch fallen alle Nenner weg.
4.	Löse die Gleichung wie gewohnt weiter durch Äquivalenzumformungen.
5.	Vergleiche die Lösung mit dem Definitionsbereich. Achtung: Die Lösung muss ein erlaubter $x$ -Wert sein. Ansonsten hat die Gleichung keine Lösung.

Beispiel - Löse nach x auf:

$\frac{2}{6-2x}=\frac{x}{4x-12}$

Zunächst bestimmen wir den Definitionsbereich der Bruchgleichung.

$6-2x=0$ und $4x-12=0$ 

$x=3$ für beide.

Der Definitionsbereich ist daher: $\mathbb{D}=\R \backslash \{3\}$ 

Nun folgt die Suche nach dem Hauptnenner:

$\frac{2}{2(3-x)}=\frac{x}{4(x-3)}=\frac{x}{-4(3-x)}$ 

Der Term ist $(3-x)$  ist also in beiden Brüchen im Nenner enthalten. Folglich ist der Hauptnenner $2 \cdot (-4) \cdot (3-x)$ . Um beide Seiten der Gleichung auf den gleichen Nenner zu bringen, muss man nun die linke Seite mit $-4$ und die rechte Seite mit $2$ erweitern:

$\frac{2 \cdot (-4)}{2\cdot (-4) \cdot (3-x)}= \frac{2x}{2\cdot (-4) \cdot (3-x)}$

Multiplizieren mit dem Hauptnenner ergibt:

$2 \cdot (-4) = 2x \rightarrow \underline{x=-4}$

Dies liegt im Definitionsbereich, also ist die Lösung der Gleichung $x=-4$

Beispiel - Löse nach $x$ auf:

$\frac{3x}{3x-6}=\frac{x+2}{x+3}$

Der Definitionsbereich wurde schon im Ersten Beispiel bestimmt: $\mathbb{D}=\R \backslash \{-3,2\}$ 

Im Folgenden gibt es keinen Hauptnenner. Die Gleichung wird gelöst, indem man die gesamte Gleichung mit beiden Nennern der Brüche multipliziert:

$\frac{3x}{3x-6}= \frac{x+2}{x+3} \qquad | \cdot (3x-6) \cdot (x+3) \\\frac{3x(x+3)(3x-6)}{3x-6}= \frac{(x+2)(x+3)(3x-6)}{x+3} \qquad |\ \text{kürzen} \\3x(x+3)=(x+2)(3x-6)$ 

Klammern auflösen ergibt:

$3x^2+9= 3x^2-6x+6x-12 \qquad |-3x^2 \\9x = -12 \qquad |:9 \\x= - \underline{ \frac{4}{3}}$

$x=-\frac{4}{3}$ wird vom Definitionsbereich nicht ausgeschlossen und ist somit die Lösung.