Normalverteilung: Funktionen & Darstellung

Definition

Die Normalverteilung ist eine stetige Verteilung. Das heisst es gibt unendlich viele Ereignismöglichkeiten. Die Normalverteilung ist spiegelsymmetrisch um ihren Erwartungswert.

Man definiert eine Normalverteilung auf Basis von zwei Werten: ( $1$ ) vom Mittelwert $\mu$ einer Verteilung und (2) von der Standardabweichung $\sigma$ der Verteilung.

$X \sim N(\mu,\sigma)$

Funktionen

Dichtefunktion

Die Normalverteilung kann mit der allgemeinen Dichtefunktion beschrieben werden.

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac12(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$

$x$

Zufallsgrösse

$\mu$

Mittelwert der Verteilung

$\sigma$

Standardabweichung der Verteilung

$e$

Eulersche Zahl

Hinweis 1: Bei Aufgaben sind $\mu$  und $\sigma$  typischerweise vorgegeben.

Hinweis 2: Man rechnet meist mit einem Taschenrechner oder entnimmt die Werte einer Tabelle.

Darstellung

Mathematik; Verteilungen; 3. Gymi; Normalverteilung: Funktionen & Darstellung

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion ( $\phi(x)$ ) ist durch die Fläche unter der Dichtefunktion ( $f(x)$ ) gegeben. Sie gibt für einen beliebigen Wert $x$ die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable $X$ kleiner oder gleich $x$ ist.

$ϕ(X≤x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-∞}^{x}e^{-\frac12(\frac{t-\mu}{\sigma})^2}dt$

$X$

Zufallsgrösse

$x$

Wert, den die Zufallsgrösse annimmt

$\mu$

Mittelwert der Verteilung

$\sigma$

Standardabweichung der Verteilung

$t$

Integrationsvariable

Hinweis: Man berechnet die Verteilungsfunktion typischerweise mit dem Taschenrechner oder entnimmt die Werte einer Tabelle.

Intervall

Wahrscheinlichkeit für ein Intervall von $X$ :

$P(a≤X≤b)=ϕ(X≤b)-ϕ(X≤a)$

Darstellung

Einseitig

Zweiseitig (Intervall)

Mathematik; Verteilungen; 3. Gymi; Normalverteilung: Funktionen & Darstellung

$P(X\leq x)$

Mathematik; Verteilungen; 3. Gymi; Normalverteilung: Funktionen & Darstellung

$P(a≤X≤b)$

Beispiel

Nehmen wir an, das Gewicht (in Gramm) von Äpfeln sei normalverteilt mit $\mu =75, \sigma =15$ .

$200$ Äpfel werden untersucht. Wie viele Äpfel haben ein Gewicht zwischen $60$ und $80$ g?

$\phi(80)-\phi(60)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}15}\int_{60}^{80}e^{-\frac12(\frac{t-75}{15})^2}dt \approx 0.4719 = 47.19\%$

$47.19\%\cdot 200≈\underline{94 \, Äpfel}$

Standardnormalverteilung

Die Standardnormalverteilung ist die Normalverteilung mit Mittelwert $0(\mu=0)$ und Standardabweichung $1(\sigma=1)$ .

Dichtefunktion

Normalverteilung mit Mittelwert $0(\mu = 0)$ und Standardabweichung $1(\sigma=1)$

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}t^2}$

Verteilungsfunktion

$\phi(x)=\int_{-\infin}^{x}f(t)dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{x}e^{-\frac12 t^2}dt$