Binomialverteilung: Funktionen & Kennwerte

Definition

Die Binomialverteilung ist eine der wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie kommt zum Zug, wenn ein Zufallsexperiment in Form einer Bernoulli-Kette vorliegt:

Nur zwei Ergebnisse sind möglich pro Bernoulli-Experiment
Die einzelnen Versuche sind unabhängig voneinander, das heißt, die Wahrscheinlichkeit bei den einzelnen Bernoulli-Experimenten ist immer gleich.

Man sagt auch, dass die Binomialverteilung die Summe von unabhängigen Bernoulli-Verteilungen mit gleicher Wahrscheinlichkeit ist.

Funktionen

Wahrscheinlichkeitsfunktion

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion wird von der Bernoulli-Kette übernommen.

P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}

$p$

Wahrscheinlichkeit des Zufallsereignis

$n$

Anzahl Wiederholungen des Zufallsexperiments

$k$

Anzahl Treffer

Schreibweise: Für eine Binomialverteilung schreibt man anstatt $P(X=k)$ auch $B_{n,p}(X=k)$ oder $B_{n,p}(k)$ .

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion summiert mehrere Ergebnisse (Wahrscheinlichkeiten) der Wahrscheinlichkeitsfunktion. Sie gibt an, wie wahrscheinlich es ist, in einer Bernoulli-Kette eine Anzahl von Erfolgen (bezeichnet mit $X$ ) zu erzielen die zwischen $x$ und $k$ liegt.

$F(k\leq X \leq x)=\sum_{i=k}^x\binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1-p)^{n-i}$

$p$

Wahrscheinlichkeit des Zufallsereignis

$n$

Anzahl Wiederholungen des Zufallsexperiments

$x$

Obergrenze der Treffer

$k$

Untergrenze der Treffer

$i$

Laufvariable

Kennwerte

Erwartungswert

$E(X)=n \cdot p$

Varianz

$V(X)=n\cdot p \cdot (1-p)$

Standardabweichung

$\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}$

Beispiel

Ein Basketballspieler trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von $60\%$ den Korb. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei $10$ Würfen $8$  oder mehr Körbe erzielt?

Tabelle mit den Variablen:

$p$

$0.6$

$1-p$

$0.4$

$n$

$10$

$k$

Berechnung der Wahrscheinlichkeit:

$P(X≥8)=F(8≤X≤10)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)$

Einsetzen:

$=\binom{10}{8}\cdot 0.6^8 \cdot 0.4^2 +\binom{10}{9}\cdot 0.6^9 \cdot 0.4^1+ \binom{10}{10} \cdot 0.6^{10} \cdot 0.4^0 \approx 0.167 = \underline{16.7\%}$

Darstellung im Diagramm: