Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln

Grundoperationen

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$

Grafisch setzt man das Ende des einen Vektors an den Anfang des anderen Vektors.

Allgemein

Zwischen Punkten

\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}

$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{-b})$

Man addiert den Gegenvektor von $\overrightarrow{b}$ .

Multiplikation mit einer Zahl (Vektorvielfachen):

$r\cdot \overrightarrow{a}$

Der Vektor $\overrightarrow{a}$ wird um das $|r|$ -fache verlängert oder gekürzt.

Der Parameter r eine reelle Zahl.

Richtung:

Länge:

Kommutativgesetz der Addition	$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$	Reihenfolge der Vektoren ist unwichtig.
Assoziativgesetz der Addition	$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$	Reihenfolge der Addition ist unwichtig.
Neutralelement der Addition	$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{o}=\overrightarrow{a}$	Nullvektor addieren ändert nichts.
Inverses Element der Addition	$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{\left(-a\right)}=\overrightarrow{o}$	Vektor und Gegenvektor addiert ergeben den Nullvektor.
Assoziativgesetz des Vektorvielfachen	$(rs)\overrightarrow{a}=r(s\overrightarrow{a})$	Vorfaktoren darf man zusammennehmen.
Distributivgesetz	$\begin{aligned}r (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) &=r\overrightarrow{a}+r\overrightarrow{b} \\(r+s)\overrightarrow{a} &=r\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{a}\end{aligned}$	Klammern darf man entsprechend auflösen.
Betrag	$\left\|r\overrightarrow{a}\right\|=\left\|r\right\|\left\|\overrightarrow{a}\right\|$	Einen Betrag darf man trennen.
Gleichheitsgesetz	Gilt: $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ dann gilt auch: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$ oder $r\overrightarrow{a}=r\overrightarrow{b}\ \left(r\neq0\right)$	Sind Vektoren identisch, dann sind auch die Rechnungen mit diesen gleich.