Grenzwerte und Asymptoten bestimmen

Definition

Grenzwerte beschreiben das Verhalten einer Funktion gegen:

die positive (+) und negative (–) Unendlichkeit;
senkrechte Asymptoten (Einschränkungen des Definitionsbereichs).

Grenzwerte und Asymptoten von Basisfunktionen

Funktion		Äussere Grenzen		Asymptote bei $x=0$
Funktion		$- \infin$	$+ \infin$	$0^-$	$0^+$
Potenzfunktion	$x,\ x^3,\ x^5,\ \ldots$ (ungerade Exponenten)	$- \infin$	$+ \infin$	-	-
Potenzfunktion	$x^2,\ x^4,{\ x}^6\ \ldots$ (gerade Exponenten)	$+ \infin$	$+ \infin$	-	-
Bruchfunktion (Hyperbel)	$\frac{1}{x},\ \frac{1}{x^3},\ \frac{1}{x^5},\ \ldots$ (ungerade Exponenten)	$0^-$	$0^+$	$- \infin$	$+ \infin$
Bruchfunktion (Hyperbel)	$\frac{1}{x^2},\ \frac{1}{x^4},\frac{1}{x^6}\ \ldots$ (gerade Exponenten)	$0^+$	$0^-$	$+ \infin$	$+ \infin$
Wurzelfunktion	$\sqrt[3]{x},\sqrt[5]{x},\sqrt[7]{x},\ \ldots$ (ungerade Exponenten)	$- \infin$	$+ \infin$	-	-
Wurzelfunktion	$\sqrt x,\ \sqrt[4]{x},\sqrt[6]{x}\ \ldots$ (gerade Exponenten)	-	$+ \infin$	-	- $(\sqrt0=0)$
Exponentialfunktion $a^x$ ( $a$ : Konstante)	$a>1, e^x$	$0^+$	$+ \infin$	-	-
Exponentialfunktion $a^x$ ( $a$ : Konstante)	$1>a>0$	$+ \infin$	$0^+$	-	-
Logarithmus $log_a(x)$	$a>1, ln\left(x\right)$	n.a.	$+ \infin$	-	$- \infin$
Logarithmus $log_a(x)$	$1>a>0$	n.a.	$+ \infin$	-	$+ \infin$
Sinus	$sin\left(x\right)$	-	-	-	-
Kosinus	$cos\left(x\right)$	-	-	-	-

Hinweis: «n.a.» heisst, dass die Funktion nicht anwendbar ist, da nicht Teil des Definitionsbereichs.

Grenzwerte von allgemeinen Funktionen

Meist sind Funktionen aus verschiedenen Basisfunktionen zusammengesetzt. Die jeweiligen Grenzwerte sind abhängig von ihrem Zusammenspiel.

Grenzwerte bestimmen

VORGEHEN

1.

Überlege anhand des Definitionsbereichs, welche Grenzwerte geprüft werden müssen:

Kleinster Wert des Definitionsbereichs? Meist $-\infty$
Grösster Wert des Definitionsbereichs? Meist $+\infty$
Lücken im Definitionsbereich? Senkrechte Asymptote an einem $x$ -Wert. An diesen muss man von links und rechts prüfen.

2.

Führe jeden Grenzwert aus:

Überlege für jeden Teil des Terms, zu welchen Wert dieser strebt.
Führe die Terme zusammen. Achte hier auf die Dominanz von Basisfunktionen.

Beispiel

Grenzwerte von

$f\left(x\right)=x^4+1$

Definitionsbereich:

$\mathbb{D}=\mathbb{R}$

Kleinster Wert: -\infty	$\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(x^4+1\right)\approx\infty+1=\infty$
Grösster Wert: \infty	$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x^4+1\right)\approx\infty+1=\infty$

Dominanz von Basisfunktionen

Erhält man folgende Aussagen, muss man die Dominanz von Funktionen prüfen, um den gemeinsamen Grenzwert zu bestimmen:

$\frac{\pm\infty}{\pm\infty}\ oder\ \frac{0}{0}\ oder\ \pm\infty\cdot 0\ oder\ \infty-\infty$

Der dominante Teil entscheidet das Verhalten.

Wachstum am schnellsten gegen $\pm\infty$ :

(Von langsam zu schnell)

$log(x)$	$\longrightarrow$	$\sqrt{x}$	$\longrightarrow$ $x^{n-1}$		$\longrightarrow$ $x^n$		$\longrightarrow$	$a^x$
$ln(x)$								$e^x$

Hinweis 1: $n$

Hinweis 2: $a$ ist hier grösser als $1$ ( $a>1$ )

Beispiele

$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{ln{\left(x\right)}}{\sqrt x}\right)}=\frac{\infty}{\infty}$

$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{x^5}{x^3+1}\right)}=\frac{\infty}{\infty}$

$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(e^x-x^{100}\right)}=\infty-\infty$

Der Nenner mit $\sqrt x$  wächst schneller.

Daher gilt:

$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{ln{\left(x\right)}}{\sqrt x}\right)}=0$

Der Zähler mit $x^5$  wächst schneller.

Daher gilt:
$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{x^5}{x^3+1}\right)}=\infty$

Der Term $e^x$  wächst schneller.

Daher gilt:
$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(e^x-x^{100}\right)}=\infty$

GRENZWERTE VON ALLGEMEINEN FUNKTIONEN

Beispiele

Grenzwerte von

$f\left(x\right)=\frac{e^x}{x-2}$

Definitionsbereich:

$\mathbb{D}=\mathbb{R} \backslash\{2\}$

Grenzwerte zu prüfen:

Kleinster Wert: $-\infty$	$\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(\frac{e^x}{x-2}\right)\approx\frac{0}{-\infty}=0^-$
Nullstelle von links: $2^-$	$\lim\limits_{x\rightarrow2^-}\left(\frac{e^x}{x-2}\right)\approx\frac{e^2}{0^-}=-\infty$
Nullstelle von rechts: $2^+$	$\lim\limits_{x\rightarrow2^+}\left(\frac{e^x}{x-2}\right)\approx\frac{e^2}{0^+}=\infty$
Grösster Wert: $+\infty$	$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{e^x}{x-2}\right)\approx\frac{\infty}{\infty}=\infty$ , ( $e^x$ ist dominant)

Tipps zu Grenzwerten von Bruchfunktionen

Asymptoten und Lücken

Waagerechte Asymptoten

Asymptoten parallel zur $x$ -Achse (Unendliche Grenzwerte)

Senkrechte Asymptoten

Eine nicht kürzbare Nullstelle des Nenners.

Lücke

Unterbrechung in einem Punkt der Funktion.

Eine kürzbare Nullstelle des Nenners.

Beispiel

$f\left(x\right)=\frac{\left(x-2\right)\cdot 3}{\left(x-1\right)\cdot \left(x-2\right)}$

Nullstellen des Nenners: $x=1$ und $x=2$

Art der Nullstelle:

$f\left(x\right)=\frac{\left(x-2\right)\cdot 3}{\left(x-1\right)\cdot \left(x-2\right)}=\frac{3}{\left(x-1\right)}$

$x=1$ : Die Klammer von dieser kann man nicht kürzen $\longrightarrow$ Senkrechte Asymptote

$x=2$ : Die Klammer von dieser kann man kürzen $\longrightarrow$ Lücke.

Unendliche Grenzwerte: $\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}{\left(\ldots\right)}=0$ $\longrightarrow$ Waagrechte Asymptote

Grenzwerte gegen $\infty$ und $-\infty$

Vorgehen

1.	Limes $-\infty$ setzen.
2.	Höchste Potenz ausklammern.
3.	$-\infty$ einsetzen und den Grenzwert berechnen.
4.	Gleiches für Limes in $+\infty$ setzen.

Beispiel

f\left(x\right)=\frac{2x^2+4x}{3x^3+2}

Grenzwert gegen $-\infty$ :

$\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}{\left(\frac{2x^2+4x}{3x^3+2}\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}{\left(\frac{2+\frac{4}{x}}{3+\frac{2}{x^3}}\cdot\frac{x^2}{x^3}\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}{\left(\frac{2+\frac{4}{x}}{3+\frac{2}{x^3}}\cdot\frac{1}{x}\right)}=\frac{2+0}{3+0}\cdot\left(0^-\right)=0^-$

Grenzwert gegen $+\infty$ :

$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}{\left(\frac{2x^2+4x}{3x^3+2}\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}{\left(\frac{2+\frac{4}{x}}{3+\frac{2}{x^3}}\cdot\frac{x^2}{x^3}\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}{\left(\frac{2+\frac{4}{x}}{3+\frac{2}{x^3}}\cdot\frac{1}{x}\right)}=\frac{2+0}{3+0}\cdot0^+=0^+$