Ableitung: Exponential- und Logarithmusfunktion

Exponentialfunktion

Exponentialfunktionen sind Funktionen mit $x$ im Exponenten:

$f\left(x\right)=a\cdot b^x$

Eine oft verwendete Exponentialfunktion ist die $x$ -Funktion:

f\left(x\right)=e^x

e

: Euler'sche Zahl,

e=2.7182\ldots

Mit den folgenden Regeln kann man direkt die Ableitung einer Exponentialfunktion bilden.

Funktion $f\left(x\right)$		Ableitung $f^\prime\left(x\right)$	Beispiel
Allgemein	$a\cdot\ b^x$	$a\cdot ln\left(b\right)\cdot b^x$	$f\left(x\right)=$	$3\cdot 4^x$
			$f^\prime(x)=$	$3\cdot ln\left(4\right)\cdot 4^x$
e-Funktion	$a\cdot\ e^x$	$a\cdot e^x$	$f\left(x\right)=$	$2\cdot e^x$
			$f^\prime(x)=$	$2\cdot e^x$

Hinweis: Bei der $e$ -Funktion ist $ln\left(e\right)=1$ .

Logarithmusfunktionen ( $log$ -Funktionen) sind Funktionen mit $x$ im Logarithmus:

${f\left(x\right)=log}_b{\left(x\right)}$

Eine oft verwendete Logarithmusfunktion der euler'schen Zahl $e$ :

ln\left(x\right)

$e$ ist hier die Basis des Logarithmus: ${log}_e{\left(x\right)=ln{\left(x\right)}}$

Mit den folgenden Regeln kann man direkt die Ableitung einer Logarithmusfunktion bilden.

Funktion $f\left(x\right)$		Ableitung $f^\prime\left(x\right)$	Beispiel
Allgemein	$a\cdot {log}_b{\left(x\right)}$	$\frac{a}{x\cdot ln(b)}$	$f\left(x\right)=$	$4\cdot{log}_5{\left(x\right)}$
			$f^\prime(x)=$	$\frac{4}{x\cdot ln(5)}$
e-Log-Funktion	$a\cdot l n\left(x\right)$	$\frac{a}{x}$	$f\left(x\right)=$	$2\cdot\ ln\left(x\right)$
			$f^\prime(x)=$	$\frac{2}{x}$

Hinweis: Bei der $e$ -Funktion ist $ln\left(e\right)=1$ .

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