Distributivgesetz

Das Distributivgesetz in beide Richtungen

Das Distributivgesetz (auch Verteilgesetz genannt) ist eine der wichtigsten Regeln beim Rechnen mit Termen. Es verbindet Multiplikation und Addition — und funktioniert in zwei Richtungen.

Distributivgesetz — die Regel

Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen besteht (z. B. 3x + 5). Eine Variable ist ein Buchstabe, der für eine unbekannte Zahl steht (z. B. a, x).

Richtung 1 — Ausmultiplizieren: a · (b + c) = a · b + a · c
Richtung 2 — Ausklammern: a · b + a · c = a · (b + c)

Beide Schreibweisen beschreiben denselben Wert. Die eine Umformung ist die Umkehrung der anderen.

Stell dir vor, du kaufst für 5 Freunde je ein Getränk für 3 Fr. und einen Snack für 2 Fr. Du kannst auf zwei Arten rechnen:

Erst zusammenzählen, dann multiplizieren: 5 · (3 + 2) = 5 · 5 = 25 Fr.
Erst einzeln multiplizieren, dann addieren: 5 · 3 + 5 · 2 = 15 + 10 = 25 Fr.

Beide Wege liefern 25 Fr. — genau das sagt das Distributivgesetz.

Häufiger Fehler: Manche verwechseln das Distributivgesetz mit «alles zusammenrechnen». Aber 2a + 3b ist nicht gleich 5ab! Das Distributivgesetz funktioniert nur, wenn ein gemeinsamer Faktor (also ein gleicher Multiplikator) vorhanden ist.

Ausmultiplizieren

Ausmultiplizieren bedeutet: Du löst eine Klammer auf, indem du den Faktor vor der Klammer mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multiplizierst. Ein Glied ist ein Summand innerhalb des Terms — also ein Teilstück, das durch + oder − getrennt ist.

Vorgehen beim Ausmultiplizieren

1

Identifiziere den Faktor vor der Klammer und die Glieder in der Klammer.

2

Multipliziere den Faktor mit jedem Glied einzeln — vergiss kein Vorzeichen!

3

Schreibe die Einzelprodukte als Summe (oder Differenz) auf.

Beispiel 1: 7(x + 1)

7 · x + 7 · 1 = 7x + 7

Beispiel 2: 9a(b + 3)

9a · b + 9a · 3 = 9ab + 27a

Beispiel 3: a(2a − 3b)

a · 2a − a · 3b = 2a² − 3ab

(Dabei bedeutet a · a = a², also «a zum Quadrat».)

Beispiel 4: 4(2n − 5m + 3)

4 · 2n − 4 · 5m + 4 · 3 = 8n − 20m + 12

Achtung, Vorzeichen! Steht ein Minus in der Klammer, wird es beim Multiplizieren mitgenommen: 3(x − 5) = 3x − 15, nicht 3x + 15.

Ausklammern und Kontrolle

Ausklammern ist die Umkehrung des Ausmultiplizierens: Du suchst den grössten gemeinsamen Faktor (ggF) aller Glieder und schreibst ihn vor die Klammer. Der ggF ist die grösste Zahl (und/oder Variable), durch die sich jedes Glied teilen lässt.

Vorgehen beim Ausklammern

1

Finde den ggF aller Glieder — prüfe Zahlen und Variablen getrennt.

2

Teile jedes Glied durch den ggF — das Ergebnis kommt in die Klammer.

3

Kontrolle (Probe): Multipliziere das Ergebnis wieder aus. Du musst den Ausgangsterm zurückerhalten.

Beispiel 1 — nur Zahlen als ggF: 15n + 10

ggF von 15 und 10 ist 5.

15n ÷ 5 = 3n | 10 ÷ 5 = 2

→ 5(3n + 2)

Probe: 5 · 3n + 5 · 2 = 15n + 10 ✓

Beispiel 2 — Variable als ggF: 8x + xy

Beide Glieder enthalten x. ggF = x.

8x ÷ x = 8 | xy ÷ x = y

→ x(8 + y)

Probe: x · 8 + x · y = 8x + xy ✓

Beispiel 3 — Zahl und Variable: 6b² + 4b

ggF der Zahlen: ggF(6, 4) = 2. Beide Glieder enthalten mindestens ein b. → ggF = 2b.

6b² ÷ 2b = 3b | 4b ÷ 2b = 2

→ 2b(3b + 2)

Probe: 2b · 3b + 2b · 2 = 6b² + 4b ✓

Nicht vergessen: Mach immer die Probe! Multipliziere dein ausgeklammertes Ergebnis wieder aus. Wenn du nicht den Ausgangsterm zurückerhältst, hast du den falschen Faktor gewählt oder dich verrechnet.