Terme multiplizieren & dividieren

Multiplizieren: Faktoren vertauschen und zusammenfassen

Wenn du zwei oder mehr Grössen multiplizierst, heisst jede einzelne Grösse ein Faktor. Das Ergebnis einer Multiplikation heisst Produkt. Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der aus Zahlen, Variablen (Platzhaltern wie a, b, x) und Rechenzeichen besteht.

Kommutativgesetz der Multiplikation (Vertauschungsgesetz):

Bei einer Multiplikation darfst du die Reihenfolge der Faktoren beliebig vertauschen, ohne dass sich das Ergebnis ändert.

a · b = b · a und 3 · x · 7 = 7 · 3 · x = 21x

Vorgehen: Zahlen zusammenmultiplizieren → Variablen alphabetisch hinten anhängen.

Beispiel 1: 5 · a · 3 · b

Faktoren vertauschen: 5 · 3 · a · b

Zahlen multiplizieren: 15 · a · b = 15ab

Beispiel 2: 4 · y · 11 · x

Faktoren vertauschen: 4 · 11 · x · y

Zahlen multiplizieren: 44 · x · y = 44xy

(Variablen stehen alphabetisch: erst x, dann y.)

Beispiel 3 – Streaming-Abo: Ein Streaming-Dienst kostet m Fr. pro Monat. Du teilst das Abo mit n Freunden und zahlst 6 Monate lang.

Gesamtkosten pro Person: 6 · m · 1 · n⁻¹ – aber als reiner Multiplikations-Term:

Gesamtkosten aller Personen: 6 · n · m = 6 · n · m

Faktoren umordnen: 6 · m · n = 6mn

Beispiel 4: 7 · c · 2 · a · d

Zahlen: 7 · 2 = 14 → Variablen alphabetisch: a · c · d → 14acd

Häufiger Fehler: Variablen addieren statt multiplizieren! 3 · a · 2 · b ≠ 6 + a + b. Du multiplizierst alle Faktoren: 3 · 2 · a · b = 6ab.

Dividieren: gliedweise teilen und kürzen

Beim Dividieren eines Terms mit mehreren Summanden (das sind die einzelnen Teile, die durch + oder − verbunden sind) wendest du das Distributivgesetz an: Du teilst jeden Summanden einzeln durch den Divisor (die Zahl oder den Term, durch den du teilst).

Regel – gliedweise dividieren:

(a + b) : c = a : c + b : c

Variablen, die sowohl im Zähler als auch im Divisor vorkommen, dürfen gekürzt werden – genau wie bei Brüchen mit Zahlen.

Beispiel 1: (12a + 8) : 4

Jeden Summanden einzeln teilen:

12a : 4 + 8 : 4 = 3a + 2

Beispiel 2: (6b − 2c) : 2

6b : 2 − 2c : 2 = 3b − c

Beispiel 3 – Variablen kürzen: 15ab : 3a

Zahlen kürzen: 15 : 3 = 5

Variable kürzen: a : a = 1 (fällt weg)

Ergebnis: 5b

Beispiel 4 – Gaming-Kontext: Du und 2 Freunde kaufen zusammen Spiele-Packs. Die Gesamtkosten betragen (9x + 6) Fr. Ihr teilt gleichmässig durch 3:

(9x + 6) : 3 = 9x : 3 + 6 : 3 = 3x + 2 Fr. pro Person

Häufiger Fehler: Nur den ersten Summanden teilen und den Rest vergessen! (6b − 2c) : 2 ≠ 3b − 2c. Du musst jeden Summanden durch 2 teilen: 3b − c.

Punktrechnung Beispiele: multiplizieren und dividieren gemischt

Jetzt kombinierst du beide Operationen – Multiplikation und Division – in einer einzigen Aufgabe. Die Punktrechnung (Multiplikation und Division) wird immer vor der Strichrechnung (Addition und Subtraktion) ausgeführt. Wenn du innerhalb einer Aufgabe nur Punktrechnung hast, rechnest du von links nach rechts.

Strategie für gemischte Punktrechnung mit Termen:

Klammern zuerst auflösen (Distributivgesetz).
Multiplikationen ausführen: Zahlen zusammenmultiplizieren, Variablen anhängen.
Divisionen ausführen: gliedweise teilen, gemeinsame Faktoren kürzen.
Ergebnis aufräumen: Variablen alphabetisch ordnen.

Beispiel 1 – erst multiplizieren, dann dividieren:

1

Aufgabe: 6 · a · 2 · b : (3a)

2

Multiplikation: 6 · 2 · a · b = 12ab

3

Division: 12ab : 3a → Zahlen: 12 : 3 = 4; Variable: a : a = 1 → 4b

Beispiel 2 – Klammer zuerst, dann dividieren:

1

Aufgabe: 5 · (4x + 2y) : 10

2

Ausmultiplizieren: 5 · 4x + 5 · 2y = 20x + 10y

3

Gliedweise dividieren: (20x + 10y) : 10 = 2x + y

Beispiel 3 – Sportverein: Ein Sportverein bestellt für t Teams je 3 Trikots und 2 Hosen. Ein Trikot kostet k Fr., eine Hose h Fr. Die Sponsoren übernehmen die Hälfte.

1

Gesamtkosten: t · (3k + 2h)

2

Ausmultiplizieren: 3kt + 2ht

3

Sponsoren zahlen die Hälfte → Verein zahlt: (3kt + 2ht) : 2 = 3kt/2 + ht

Setze t = 4, k = 30, h = 20 ein: (3 · 30 · 4 + 2 · 20 · 4) : 2 = (360 + 160) : 2 = 520 : 2 = Fr. 260

Beispiel 4 – Variablen kürzen: (18a²b − 12ab) : (6ab)

1

Gliedweise: 18a²b : (6ab) − 12ab : (6ab)

2

Kürzen: 18 : 6 = 3, a² : a = a, b : b = 1 → 3a | 12 : 6 = 2, a : a = 1, b : b = 1 → 2

3

Ergebnis: 3a − 2

Häufiger Fehler: Beim Kürzen nur die Zahl kürzen und die Variable vergessen – oder umgekehrt. Prüfe immer beides: Zahlen UND Variablen. Beispiel: 18a²b : (6ab) → Zahlen: 18 : 6 = 3, Variablen: a² : a = a und b : b = 1. Ergebnis: 3a (nicht 3a²b!).