Terme addieren & subtrahieren – Kärtchen

Terme als Rechtecksflächen veranschaulichen

Bevor wir Terme addieren oder subtrahieren, schauen wir uns an, wie man Produkte als Rechtecke zeichnen kann. Das hilft dir, Termumformungen wirklich zu sehen.

Kurz zur Erinnerung: Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen besteht – zum Beispiel 3b, a · b oder 5a + 2. Eine Variable ist ein Buchstabe, der für eine unbekannte Zahl steht (z. B. a oder b). Ein Produkt ist das Ergebnis einer Multiplikation.

Grundidee: Jedes Produkt mit zwei Faktoren lässt sich als Rechtecksfläche darstellen. Die eine Seite des Rechtecks steht für den ersten Faktor, die andere Seite für den zweiten Faktor. Die Fläche entspricht dem Produkt.

a · b → Rechteck mit Seiten a und b
3b = 3 · b → Rechteck mit Seiten 3 und b
a² = a · a → Quadrat mit Seitenlänge a
2 = 1 · 2 → Rechteck mit Seiten 1 und 2 (eine reine Zahl ohne Variable)

Stell dir vor, du schneidest Kärtchen aus Papier aus. Jedes Kärtchen ist ein Rechteck, das einen bestimmten Term darstellt. Wenn du zwei Kärtchen nebeneinanderlegst und sie zusammen wieder ein Rechteck ergeben, kannst du den Gesamtterm anders aufschreiben. Das ist das Distributivgesetz in Aktion – dazu gleich mehr.

Addition von Termen

Wenn du zwei Terme addierst, darfst du nur gleichartige Terme zusammenfassen. Gleichartig heisst: Der Variablenteil ist exakt gleich – also z. B. 2b und 3b (beide enthalten genau b).

Die Begründung liefert das Distributivgesetz (auch Verteilgesetz genannt): Du klammerst den gemeinsamen Faktor aus und addierst die Zahlen davor. Die Zahlen vor den Variablen heissen Koeffizienten.

Distributivgesetz bei der Addition:

Koeffizient₁ · x + Koeffizient₂ · x = (Koeffizient₁ + Koeffizient₂) · x

Beispiel: 2b + 3b = b · (2 + 3) = b · 5 = 5b

1

Prüfe, ob die Variablenteile gleich sind.
Nur wenn beide Terme denselben Variablenteil haben, darfst du zusammenfassen.

2

Addiere die Koeffizienten.
Beispiel: 6c + c = 6c + 1c = c · (6 + 1) = 7c. Denk daran: c allein bedeutet 1c.

3

Schreibe das Ergebnis auf.
Der Variablenteil bleibt, nur der Koeffizient ändert sich.

Beispiel – Spotify-Abos:

Stell dir vor, ein Monatsabo kostet s Fr. Drei Freunde nehmen je ein Abo, dann kommen 4 weitere Freunde dazu, die auch je ein Abo abschliessen.

Gesamtkosten: 3s + 4s = s · (3 + 4) = 7s

Zur Kontrolle: Wenn s = 13, dann 3 · 13 + 4 · 13 = 39 + 52 = 91 und 7 · 13 = 91. ✓

Typischer Fehler: 2a + 2 ≠ 4a! Das Kärtchen 2a hat die Seiten 2 und a, während 2 die Seiten 1 und 2 hat. Die Seiten passen nicht zusammen – kein gemeinsames Rechteck möglich. Genauso gilt: 2 + 3b ≠ 5b und 8a + 5 lässt sich nicht zu einem einzelnen Term mit Variable zusammenfassen (kein gemeinsamer Faktor).

Subtraktion von Termen

Die Subtraktion funktioniert ganz ähnlich wie die Addition – du brauchst wieder gleichartige Terme (gleicher Variablenteil). Statt Koeffizienten zu addieren, subtrahierst du sie.

Distributivgesetz bei der Subtraktion:

Koeffizient₁ · x − Koeffizient₂ · x = (Koeffizient₁ − Koeffizient₂) · x

Beispiel: 5a − 3a = a · (5 − 3) = a · 2 = 2a

Mit Kärtchen dargestellt: Du legst das grössere Kärtchen hin und «drehst» das kleinere um – das zeigt an, dass du diesen Teil wegnimmst. Was übrig bleibt, ist das Ergebnis.

1

Prüfe, ob die Variablenteile gleich sind.
Nur gleichartige Terme dürfen subtrahiert werden.

2

Subtrahiere die Koeffizienten.
Beispiel: 6c + c = 6c + 1c = c · (6 − 1) = 5c. Vergiss nicht: c allein = 1c.

3

Schreibe das Ergebnis auf.
Der Variablenteil bleibt gleich.

Beispiel – Gaming-Münzen:

Du hast 8 Münzpakete im Wert von je m Spielmünzen auf deinem Konto (insgesamt also 8m). Für ein neues Skin-Bundle gibst du 3 dieser Pakete (also 3m) aus.

Restguthaben: 8m − 3m = m · (8 − 3) = 5m

Kontrolle mit m = 10: 8 · 10 − 3 · 10 = 80 − 30 = 50 und 5 · 10 = 50. ✓

Weitere Beispiele:

4b − 3b = b · (4 − 3) = b
12xy − 3xy = xy · (12 − 3) = 9xy
5a − 5 = 5 · (a − 1) → mit dem Distributivgesetz lässt sich der gemeinsame Faktor 5 ausklammern; die kompakte Form ist 5(a − 1)

Typischer Fehler: 3b − b ≠ 3! Hier wird oft vergessen, dass b eigentlich 1b ist. Richtig: 3b − 1b = b · (3 − 1) = 2b. Das Ergebnis enthält weiterhin die Variable! Genauso: 4a − 3b lässt sich nicht vereinfachen (verschiedene Variablenteile).

Terme mit Produkten von Variablen

Bisher waren die Kärtchen einfach: eine Seite war eine Zahl, die andere eine Variable (z. B. 3b). Jetzt kommen Terme vor, bei denen beide Seiten Variablen sein können – wie ab, a² oder b². Das Vorgehen bleibt gleich: Zwei Kärtchen lassen sich zusammenfügen, wenn sie eine gemeinsame Seite haben.

Wichtige Kärtchen-Typen:

a² = a · a → Quadrat mit Seitenlänge a
b² = b · b → Quadrat mit Seitenlänge b
ab = a · b → Rechteck mit Seiten a und b

1

Zeichne die Kärtchen. Überlege, welche Seitenlängen jeder Term hat.

2

Lege zusammen oder drehe um. Gibt es eine gemeinsame Seite? Dann kannst du das Distributivgesetz anwenden.

3

Überprüfe durch Einsetzen. Setze konkrete Zahlen ein und rechne beide Seiten aus.

Beispiel 1: a² + ab

Kärtchen a² (Seiten a und a) und ab (Seiten a und b) haben die gemeinsame Seite a.

Zusammenlegen: a² + ab = a · (a + b)

Überprüfung mit a = 3, b = 2:

Links: 3² + 3 · 2 = 9 + 6 = 15

Rechts: 3 · (3 + 2) = 3 · 5 = 15 ✓

Beispiel 2: 5b − ab

Kärtchen 5b (Seiten 5 und b) und ab (Seiten a und b) haben die gemeinsame Seite b.

Subtraktion: 5b − ab = b · (5 − a)

Überprüfung mit a = 3, b = 2:

Links: 5 · 2 − 3 · 2 = 10 − 6 = 4

Rechts: 2 · (5 − 3) = 2 · 2 = 4 ✓

Beispiel 3: ab + b²

Kärtchen ab (Seiten a und b) und b² (Seiten b und b) haben die gemeinsame Seite b.

Zusammenlegen: ab + b² = b · (a + b)

Überprüfung mit a = −3, b = 2:

Links: (−3) · 2 + 2² = −6 + 4 = −2

Rechts: 2 · (−3 + 2) = 2 · (−1) = −2 ✓

Achtung: Der Term a² + b² lässt sich nicht zusammenfassen! Kärtchen a² (Seiten a, a) und b² (Seiten b, b) haben keine gemeinsame Seite. Es gibt also keinen gemeinsamen Faktor zum Ausklammern.